TROISIÈME PARTIE
109. Quand on forme la suite de Sturm, on trouve le plus grand commun diviseur de f{x) et f'{œ), qu'il y ait ou qu'il n'y ait pas de racines multiples ; s'il y a des racines multiples, tous les termes de la suite acquièrent un facteur commun 9, il peut être écarté par une division, sans que les propriétés de la suite cessent d'avoir lieu : le dernier terme est alors
fi r ) f ( v)
constant, les deux premiers ^^-— ^ et --^-^'-^ perdent une variation quand /(j?) elf'{x) s'annulent; et, après la division, un terme qui s'annule se trouve toujours entre deux autres de signes contraires; donc, après la division, on peut encore appliquer le théorème de Sturm, mais les racines multiples ne peuvent être comptées qu'une fois. On n'a pas besoin de diviser par le facteur 9, car, s'il est positif, il ne change pas les signes de la suite; s'il est négatif, il les change tous; en aucun cas, le nombre des variations ne se Irouve changé.
Si l'équation donnée est de degré /^ et a toutes ses racines réelles, la suite de Sturm a /i + 1 termes; pour jr = — 00, elle ne doit avoir que des variations; pour ^r =+00, elle ne doit avoir que des permanences, et il faut pour cela que tous les termes de la suite aient leur premier coefficient positif.
En posant xz=i — 00 et œ^=.o dans la suite de Sturm, on a le nombre des racines négatives ; en posant ^ =3 o et j: =; co, on a le nombre des racines positives. Les racines manquantes sont imaginaires.
Exemple I :
.r6 i- 3x4—4^3-1- Gx2+i2J; — 18 = o,
/ (.r) = xG + Zx'*— 4,r3-h 0^2+ i2,r -
\f'{x) — .rS-t-2.r3 — ix''--^ 'ix -hi
/^(x) = — x'^'Jr- ■2X^ — 4>^" — 1oj:-1- 18.
f3{x)= — X^+lOX'-—lÇ)
f^(x) = 84 .r2— qj:— T70
f^(x) = lïGyx — 2402
Pour^ = — ce, on a quatre variations; pour ^ = o, on en a trois; et pour ^=+00, on en a deux. L'équation a donc une racine négative, une racine positive et quatre racines imaginaires.
Exemple II :
j:^-4- dx -\- b = o,
f (x) =z x^-\- ax-+- b,
f>{x) = — lax — 3t,
La condition, pour que l'équation ait trois racines réelles, est que a soit négatif et que
La première condition est comprise dans la seconde; si elle est remplie, on a, pour^=:o,
Les trois premiers termes donnent toujours une permanence et une variation; on a deux racines positives et une racine négative quand b est positif, deux racines négatives et une positive quand b est négatif.
On rencontre souvent des suites de fonctions qui jouissent des propriétés caractéristiques des suites de Sturm, et l'on peut en profiter pour déterminer la nature des racines des équations obtenues en égalant ces fonctions à zéro; les exemples suivants mettront ce fait en évidence :
1° Dans la fraction continue suivante, où «1, «o, • • • sont positifs,
les dénominateurs des réduites sont liés entre eux parles relations
Q„+i = j:Q„ — «„iQ;j,, Qo = i, Qi = a:.
l8/+ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
On voit facilement que le premier terme de Q„ est jr" et que la suite
jouit des propriétés de la suite de Sturm. Comme le second terme n'est pas la dérivée du premier, on ne peut pas en conclure qu'une variation se perd toutes les fois que le premier terme passe par zéro, mais dans le passage de — oo à h-oo, on perd n variations. Q„ a donc dû s'annuler n fois et, comme il est du degré n, Q„=:o a toutes ses racines réelles.
Les théorèmes suivants se démontrent de la même façon.
2° La n'^'"'= dérivée de la fonction
est de la forme
l'équation P„= o a toutes ses racines réelles.
= Uo + Ui a -}- U2 a2 -i- . ,
l'équation U„=o a toutes ses racines réelles.
4° La fi''"^" dérivée de e-^' est de la forme P,^e--^'; l'équation P„=o a toutes ses racines réelles. (Hermite.)
u = (i — 2 a.r + a^ ) 2 = uq -t- «1 — h «■> — -t- . . . ; I 1.2
les polynômes «0, «1, «2, • • • sont appelés polynômes de Legendre. «„r=o a toutes ses racines réelles; on trouve, en effet, en différentiant par rapport à a,
u — 3{.v — a)u'-h{i — 2aj7-i- oc^)[i"= o,
et en différentiant plusieurs fois de suite, puis en faisant a =r o,
i/„— (2// — i)j: 11,1-1 — (" — i)^««-2) "0=1, iii = x,
on peut terminer la suite à l'unité.
SÉPARATION DES RACINES. l85
Application du théorème de Sturm aux racines imaginaires.
110. On a vu plus haut que si, clans une équation à coefficients réels ou imaginaires
on posait
elle se partageait en deux autres
qui pouvaient être regardées comme les équations de deux courbes dont les intersections étaient les points représentant les racines de l'équation. Nous allons nous proposer de trouver le nombre des points racines contenus dans un contour fermé. Pour plus de simplicité, nous supposerons qu'il s'agisse de trouver le nombre des racines contenues à l'intérieur d'un cercle de rayon r et dont le centre a pour coordonnées a et h. L'équation de ce cercle peut être remplacée par les deux suivantes :
I — t- , -it
qui, par l'élimination de t, donnent l'équation du cercle.
La circonférence du cercle est parcourue dans un sens déterminé quand on fait varier i de — ce à + oo. En vertu du théorème de Cauchy, le nombre des points racines contenus à l'intérieur du cercle est la moitié de la différence du nombre de fois que AB passe du négatif au positif et du positif au négatif. Ces nombres sont les mêmes que celui de changements des variations que présentent A et B écrits l'un après l'autre, ou des permanences qu'ils présentent.
Remplaçons maintenant x el y par leurs valeurs en t, et multiplions A et B par un même facteur, de manière à les changer en deux polynômes entiers en t et premiers entre eux.
l86 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Opérons ensuite sur ces polynômes comme on l'a fait plus haut sur/(jc) et/' (^), on obtiendra une série de polynômes. Cherchons combien il se perd de variations dans cette suite quand on fait varier ^ de — oo à + ce. Comme la suite ne peut perdre de variations que par son premier terme, chaque terme étant compris entre deux autres de signes contraires quand il s'annule, le nombre de variations perdues donnera la différence du nombre de fois que le produit des deux premiers termes passera du négatif au positif et du positif au négatif, et comme ces deux premiers termes ne diffèrent de A et B que par un même facteur, leur produit a le signe de AB. On voit ainsi que, pour chaque racine contenue à l'intérieur du cercle, il se perd deux variations {ou il s'en gagne deux).
Séparation des racines réelles.
111. D'après ce que l'on a vu, il est facile de voir si, entre deux nombres donnés, il y a un nombre pair ou impair de racines réelles. Mais, avant de procéder au calcul numérique des racines, il faut déterminer des intervalles qui ne comprennent qu'une racine. Il y a des cas particuliers où il est très facile de séparer une racine; par exemple quand tous les termes sont positifs, sauf le dernier, l'équation n'a qu'une racine positive, et celle-ci se trouve séparée. Si l'on remplace x par I, lo, ICO, . . ., on peut déterminer deux de ces nombres comprenant la racine; on peut ensuite resserrer les limites jusqu'à ce que l'on ait renfermé la racine entre deux nombres entiers; on abrège le nombre des essais en déterminant une limite supérieure et une limite inférieure des racines.
Une méthode très sûre, mais très pénible pour la séparation des racines, a été donnée par Waring et, plus tard, par Lagrange ; elle consiste à former l'équation aux carrés des différences des racines et à déterminer une limite inférieure de ses racines positives ; soit a cette limite ; entre deux racines quelconques de l'équation proposée, on aura
si l'on forme alors la suite
V' 3c, îs/^, 3 V' 2, ....
deux termes consécutifs de cette suite ne pourront comprendre plus d'une racine, car, s'il en était autrement, la différence de deux racines serait moindre que s/ en.
Cette méthode suppose, bien entendu, l'équation débarrassée de ses racines multiples, sans quoi l'on trouverait
On peut, toutefois, modifier la méthode de manière à n'avoir besoin de connaître que le dernier terme de l'équation aux carrés des différences; nous ne nous arrêterons pas davantage sur cette méthode, parce que le théorème de Slurm permet plus facilement la séparation des racines.
Pour séparer les racines, on forme la suite de Sturm et l'on remplace x successivement par des valeurs entre lesquelles on en intercale de nouvelles, jusqu'à ce que l'on parvienne à deux valeurs telles que, en passant de l'une à l'autre, la suite de Sturm ne perde plus qu'une variation. Les racines sont ainsi complètement séparées, et l'on peut, par de simples essais, resserrer l'intervalle comprenant une racine.
Exemple :
La suite de Sturm est
kx +5
Ce Tableau montre que, dans le passage de — 2 à — i, de o à I, de I à 2, il se perd respectivement 2, i et i variations; l'équation a donc quatre racines réelles, les racines positives se trouvent séparées; pour séparer celles qui sont comprises
l88 TROISlÈMi: PARTIK. — CHAPITRE I.
entre — 2 et — i, on fera œ = — - dans le premier membre
de l'équation proposée, et l'on obtiendra un résultat négatif: il en résulte qu'une des racines négatives est comprise entre — I et — 1 ,5, et l'autre entre — i ,5 et — 2.
Méthode de Fourier.
112. Le théorème de Sturm permet de séparer à coup sûr les racines, mais les calculs auxquels conduit celte méthode sont très prolixes. Une équation du sixième ou du septième degré avec des coefficients très simples conduit ordinairement à des résultats contenant cinquante chiffres et plus; aussi, dans la pratique, est-il souvent plus commode de faire usage du théorème de Budan.
On se souvient que la suite de Budan est
et l'on fait usage de cette suite comme de celle de Sturm; mais le nombre des variations perdues ne donne qu'une limite supérieure des racines comprises dans l'intervalle correspondant. Ainsi il peut se perdre deux variations quand un terme intermédiaire de la suite s'annule, sans pour cela que /{x) passe par zéro; cela arrive quand le terme nul est placé entre deux autres de même signe. Comme en passant de — 00 à -f-00 on perd /^ variations quand l'équation est de degré n, l'équation a deux racines imaginaires toutes les fois qu'il se perd deux variations par suite du passage par zéro d'une des
fonctions /' {x), f"{x) On peut donc conclure de là que
si, X variant de a à b, la suite de Budan ne perd pas de variations, l'équation n'a pas de racine comprise entre a et è et que, si elle en perd une, il y a une racine entre a et b. Si elle en perd deux, ou bien l'équation a deux racines imaginaires, ou bien elle a deux racines réelles comprises entre a et b.
113. Supposons que l'on ait trouvé un intervalle dans lequel il se perde deux variations, et cela entre les trois pre-
miers termes; alors, en supposant/(j:) positif pour les deux
limites oc et [3 ([3 > a), on aura
/(^), /'(^), /"(«), /(?), /'(P), nn
Si nous supposons qu'il ne se soit pas perdu de variations dans le reste de la suite, /"(a^) =o n'a pas de racine entre a et ^.f"{x) est donc toujours positif dans l'intervalle; si/(x) reste également positif, la perte de deux variations doit indiquer l'existence de deux racines imaginaires. Des considérations géométriques vont nous permettre de nous rendre compte de ce qui arrive en général.
Comme les intersections de la courbe
avec l'axe des x donnent les racines de l'équation /(^) = o, il s'agit de trouver si entre a; = a et ^ = |3 il existe deux ou zéro points d'intersection. Comme f {x) change de signe tandis que/"(^) conserve son signe dans l'intervalle considéré, il doit y avoir dans cet intervalle un minimum et la concavité est tournée vers le haut; les deux cas sont représentés par les Jig. 7 et 8.
Fi-.
Fig.
La première correspond au cas où il y a deux racines imaginaires, la seconde au cas où il y a deux racines réelles. Si les tangentes aux points limites se coupent au-dessus de l'axe des x, il y a nécessairement des racines imaginaires, mais la réciproque n'est pas vraie. On peut seulement dire
igO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
qu'il y a des racines imaginaires si
ATi-f-TB^AB,
ou
Je répète que, de ce que les tangentes ne se coupent pas au-dessus de l'axe des x, il ne faut pas conclure à l'existence des racines réelles, mais on voit que, si les racines sont imaginaires, on pourra toujours rapprocher les limites a et (3 pour que l'intersection des tangentes ait lieu au-dessus de l'axe des x. On resserrera alors l'intervalle compris entre y. et (3 jusqu'à ce que la relation (i) soit satisfaite, ou jusqu'à ce que la perte de deux variations soit remplacée par la perte d'une variation; dans le premier cas, on est en présence de deux racines imaginaires; dans le second, on est en présence de deux racines réelles.
114. Maintenant, nous allons examiner le cas où, dans le passage de a à [3, la série perd d variations.
Laissons de côté le terme f{x), c'est-à-dire considérons f'{x) :=o comme l'équation donnée, alors on perdra d^ varialions; en considérant/"(a^) = G comme l'équation donnée, on en perdra d^, etc. Deux d consécutifs sont alors égaux ou différents d'une unité, Fourier appelle dp l'indice de f-p^ix).
Maintenant, considérons le premier indice de la série qui a pour valeur i ; soit dp cet indice, f^P''{x) -=o a. alors une racine entre oc et (3; l'indice précédent doit être 2, car, s'il était égal à zéro, il devrait y avoir un indice antérieur égal à i; l'indice suivant peut être 2, i ou o; s'il est 2 ou i, on peut toujours subdiviser l'intervalle, de telle sorte que l'intervalle qui contient la racine de f^p''{x)=zo ne contienne pas de racine de/<^'"'"''(^) ^ o; pour les autres intervalles, on a
d, = o, et le premier indice i est à chercher plus à gauche dans la
SÉPARATION DES RACINES. IQr
suite; donc on n'a besoin de considérer que le cas où dp^i = '2, dj, = I , dp+i = o ;
ce cas est celui que nous avons examiné (113), et l'on peut décider si les racines de
sont réelles ou imaginaires; si elles sont réelles, on peut scinder l'intervalle en deux autres, contenant chacun une racine et, comme chacun a l'indice i, on peut continuer de la même façon ; si elles sont imaginaires, les deux variations doivent être perdues et quand une fonction suivante s'annule elle doit se trouver entre deux autres de même signe. L'équation proposée doit donc aussi avoir deux racines imaginaires; si l'on en fait abstraction, on peut retrancher 2 de chacun des indices de la partie de la suite qui reste à étudier. Si l'on continue de celte manière, on peut rejeter le premier indice i vers un terme moins avancé dans la suite, et, quand on l'a ramené jusqu'au premier terme, la racine est séparée.
Exemple :
On a
la limite supérieure des racines est 8. Dans l'intervalle o, 8 on perd trois variations; deux de o à i, une de 7 à 8. Il y a donc une racine entre 7 et 8 qui se trouve séparée. L'inter-
valle de o à I doit être examiné de plus près; les signes de la
suite sont
Pour X = o : -I-— H,
» .X = 1: — — — — — -+-, si l'on regarde o comme négatif; alors on a
f/j = 2, di = i, (fs = o,
et
/"(O /"(O) 7 8 ^ ' il faut alors resserrer les limites; on pose ^—- et l'on a les
les variations se perdent donc de o à -; on trouve alors
d'où il résulte que les deux racines sont imaginaires. L'équation a encore deux racines négatives, l'une entre — 3 et — 2, l'autre entre — i et o.
115. Les racines imaginaires peuvent être séparées par la méthode donnée (110), ou encore en remplaçant le cercle par deux parallèles à l'axe des y, qui servent à séparer les parties réelles, ou par deux parallèles à l'axe des a:, qui servent à séparer les coefficients de i.
Théorème de Newton.
116, Newton a énoncé sans démonstration un théorème établi plus tard par Sylvester et généralisé par lui et qui corrige les indications du théorème de Budan, relatif au nombre des racines comprises entre deux limites données.
SÉPARATIOX DES HACINES. igS
On considère une seconde suite dont tous les termes sont conjugués deux à deux avec celle de Budan. Lorsque dans la série de Budan on a une variation, les termes de la série conjuguée formant une permanence, nous dirons que nous avons une variation-permanence et nous désignerons celte circonstance par le symbole V-P; l'équation f{a:) — o étant de degré n, les deux suites sont
fi'\x), [/(/')(.r)]2- A>f /-»(,r)/(/^+i)(^-),
OÙ
^ ' 'il — p
Pour abréger, nous désignerons/'^) (^) par/,.
Nous allons étudier les changements des V-P que l'on rencontre dans la double suite quand on fait croître x\ il faut remarquer que
Nous supposerons d'abord que deux termes consécutifs ne s'annulent pas en même temjjs.
Le nombre des V-P ne peut changer que quand un terme de l'une des deux suites passe par zéro.
Supposons que ce soit le cas pour/^, le changement s'opérera entre les termes
Jl>1 J p 'V' Jp-ljp-i-ll
Jp+ll Jp+l '^p+ljp Jp+i'l pour/p = o les signes des termes de la seconde suite sont
Si le signe du milieu est 4- on a une V-P, c'esl-à-dire si /,,i et P. i3
fp^x sont de signes contraires; dans ce cas, dans la première suite, il y a une variation et une permanence, de sorte que, dans les trois paires de termes, il y a une V-P avant comme après l'annulation de/,,.
Ceci n'a plus lieu quand c'est /(x) qui s'annule ; dans la première suite une variation se change en permanence et les deux premiers termes de la seconde série sont positifs et forment une permanence; donc, en tout cas, il se perdra une V-P quand x passera par une racine de f{x)^zo, pendant qu'il ne se produit aucun changement dans les V-P quand un autre terme de la première suite s'annule.
Il reste encore à chercher si le nombre des V-P peut changer quand les termes de la seconde suite s'annulent. La dérivée de/;, — ki,fp.Ji,^x — lp est
(2 — kp )Jpfp-^i — /.p //,i/p+2 ; pour T„ = 0, on a
et comme
on peut mettre les dérivées sous la forme
