OU

SÉI'AUATION DES RACINES. IQO

de sorte que -j-^— esl négatif et T^, a le signe de

—Tp+i/i.

Pour une valeur négative de h, c'est-à-dire avant le passage de Tp par zéro, T^ et T^+i forment une permanence qui, pour h positif, se change en variation; dans ce cas, il se perd une V-P; quand Tp i a même signe que Tp+,, il se perd aussi une permanence entre T/,i et T;„ et, dans le cas contraire, il s'en gagne une. On perd ainsi une V-P chaque fois que l'on passe par une racine def(x)=zo; il s'en perd deux toutes les fois qu'un terme de la seconde série passe par zéro quand il est compris entre deux autres de même signe, pendant que le terme correspondant de la première série forme avec le précédent et le suivant une variation.

117. Nous avons supposé que deux termes consécutifs ne pouvaient pas s'annuler en même temps; s'il en était ainsi, les coefficients de/(^) devraient satisfaire à une équation de condition; alors, en changeant infiniment peu les coefficients, on pourrait ramener ce cas au précédent.

Ce changement n'altère pas les signes des termes des deux suites, pourvu que les valeurs limites de x n'annulent aucun terme. Un changement infiniment petit dans les coefficients ne peut altérer le nombre des racines contenues dans un intervalle donné, si, bien entendu, les valeurs limites ne sont pas racines; la méthode, même dans le cas qui nous occupe, fera connaître une limite supérieure du nombre des racines.

Il reste encore à examiner le cas où. f{x), f {x), ..., /■(/^-''(j7), f'-p^{x) s'annulent : c'est le cas où p + 1 racines sont égales. On trouve alors, comme à propos du théorème de Budan, que la première suite perd/? variations; supposons /p4 i positif; la première suite

/(.r), f'{x). ..., f'P-^Ux), fpU.r), /(/'+i'(.r) passe de

ig6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

La seconde série n'a pour x — Ju dans ses p + i premiers termes, que des permanences. Soit

l'un des termes; pour x — h, on a

//P—r-hl lip—r-rl

hP~''

de sorte que le signe de ce terme sera le même que celui de

ou de

p — r-T-2 /i — r-i-i p — r -r- i II — r

Cette dernière expression est positive, car n >/>, et cela quel que soit ;•. Les deux suites commencent donc pour x — h par/? V-P, qui se perdent toutes quand on franchit les p racines; le théorème subsiste donc dans le cas où il y a des racines multiples.

118. En ce qui concerne kp, nous n'avons utilisé que la relation

2 — kp = j ,

et nous avons supposé kp positif; ces conditions sont remplies si

hp — >

OÙ m> n; quand m croît indéfiniment, cette valeur de kp se réduit à l'unité.

Exemple :

f (x) = .rS— 3x'*+ 2.r5 — 8x^-+ 3,r — 25 = o, f (x)=5x'* — \2x^-h 6x- — iQ>x -h 3, f" (x) = 2o.r3— SG.r^H- [2.r — 16,

Les racines sont comprises entre zéro et 4; pour ^=ro on a

où les signes placés sur la seconde ligne sont ceux des T; pour a; = ^, la première suite ne présente que des permanences, et il n'y a pas besoin de déterminer ceux de la seconde. Pour ic = o, on a une V-P; pour ^=: 4, on n'en a pas; l'équation a donc une racine réelle et quatre racines imaginaires.

119. Dans ce qui précède, on a considéré les V-P perdues pour déterminer le nombre des racines par lesquelles on passe. Sylvester a pris les P-P ou doubles permanences en considération; quand un terme /p de la première suite, compris entre deux autres de signes contraires, s'annule, les trois termes correspondants de la seconde suite sont positifs, en sorte que une V-P et une P-P changent de place. Si les deux termes qui comprennent celui qui s'annule ont le même signe, les trois termes correspondants de la seconde suite formeront deux variations, de sorte que, dans ce cas, il est encore indifférent de considérer les V-P ou les P-P.

Quand c'est Tp qui change de signe, fp-i et fp+i ont le même signe, de telle sorte que la première suite a deux variations ou deux permanences. Si Tp i et Tp+i ont des signes différents, l'ordre seul se trouve modifié : il ne reste donc plus à examiner que le cas 011, Tp passant par zéro, Tp i et T^+t sont de mêmes signes.

igS TROISIÈME PARTIi:. — CHAPITRi: I.

Dans le cas où la première suite présente deux permanences, (4) montre que T^, après s'être annulé, prend le signe de Tp+ii alors deux P-V se changent en P-P.

Dans le cas oij la première suite présente deux variations, (4) montre que, dans la seconde suite, deux permanences se changent en variations ; dans ce cas, deux V-P se changent en V-V; on peut donc étendre comme il suit le théorème démontré plus haut :

Quand x croit, en passant par une racine de l'équation donnée, on gagne une P-P ; quand x annule un ternie de la seconde suite compris entre deux de même signe, et quand, de plus, les termes correspondants de la première suite présentent deux permanences, on gagne deux P-P.

120. De cette manière, on a donc deux limites supérieures du nombre des racines réelles, et l'on peut choisir entre celles-ci la moins élevée; c'est ce que l'on voit sur l'exemple traité ci-dessus; pour ^ = o, on n'a pas de P-P, tandis que pour ^ = 4 on en a cinq; ici le théorème de Sylvester donne cinq racines, tandis que, sous la nouvelle forme que nous avons donnée, il en donne une.

Pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équation, on peut faire ^ = — oo et a? = -h co ; il faut alors, dans la seconde suite, déterminer les plus forts exposants de chaque terme; sans s'arrêter aux calculs nécessaires pour cela, on remarquera que, dans T^, les deux termes avec l'exposant le plus élevé s'évanouissent, de sorte que le terme utile à considérer contient un exposant pair; en laissant de côté un facteur positif, le coefficient de ce terme sera

l'équation étant

(7) f{x) = xn + aixn-i-{-aix"-'^ + ...=

Si donc on avait

tous les signes de la seconde suite seraient + pour œ = cc

comme pour ^=— oc; si

in ai < (72,

ils seraient —, à l'exception du premier et du dernier, qui seraient +. Dans le premier cas, on gagne n P-P ou l'on perd n Y-P, et la méthode ne donne aucun renseignement; dans le second cas, la méthode montre que l'équation a deux racines imaginaires : la méthode ne peut déceler que la présence de deux pareilles racines; pour obtenir un meilleur résultat, il faut partager l'intervalle et, pour chacun des nouveaux intervalles, appliquer le théorème en choisissant la plus petite limite qu'il fournit pour le nombre de racines réelles. Pour ^ = o, on tire de (7)

il en résulte

T/, = ipiy- al p — '' ~^ ' (p - I ) ! ( p -M ) ! «„/,, aa-,,+u

ou, en écartant le facteur positif (/>!)-,

formule valable pour tous les termes, sauf pour le premier et le dernier, qui sont positifs.

C'est le seul cas considéré par Newton et pour lequel il a donné son théorème sans démonstration; les deux suites sont alors, en écrivant les termes dans un ordre inverse,

in , '\(n — i) „ Un — a)

-H, ai — - a-i, al ciiCi^, «3 TT 5-'^'!2«4,

Admettons que l'on ait ici q P-P. Pour jr=r — 00, on n'a pas de P-P; donc l'équation n'a pas plus de racines négatives que les deux suites n'ont de P-P(^). Admettons que les deux suites aient q^ V-P ; pour x^=-\-cc, on n'a pas de V-P : donc

l'équation n'a pas plus de racines positives que les deux suites n'ont de V-P (^i); et l'on peut encore dire que l'équation a au moins autant de racines imaginaires que la seconde suite a de variations {n — q ■ — ^, ).

Newton, en utilisant les P-P pour les valeurs négatives de a; et les V-P pour les valeurs positives, obtient une meilleure estimation que Sylvester pour la limite supérieure du nombre des racines réelles. Dans l'exemple traité plus baut, le Ibéoréme de Newton montre qu'il n'y a pas plus d'une racine positive, tandis que le théorème de Sylvester, qui n'emploie que les P-P, montre qu'il ne peut en exister plus de cinq. C'est la même limite que donnerait l'application du théorème de Descartes.

Généralisation du théorème de Descartes.

121. Dans ce qui va suivre, nous allons donner une méthode nouvelle qui montre comment, par des considérations toutes différentes, on peut arriver à déterminer une limite du nombre des racines, et qui remplace avec avantage la précédente. Seulement, dans quelques cas particuliers, elle se montre inférieure à celle de Newton, mais elle s'applique avec plus de facilité.

Quand nous avons démontré le théorème de Descartes, nous avons vu que, en introduisant dans l'équation une racine positive, on augmentait au moins d'une unité le nombre des variations. Si la multiplication par ce — a introduit plus d'une variation, elle diminue le nombre des permanences, et l'on obtient une détermination plus précise du nombre des racines négatives, le nombre de ces racines n'étant pas augmenté par l'introduction d'une racine positive.

Soit ap le premier coefficient négatif; l'équation obtenue en multipliant par a: — a présentera, à certaines places, les mêmes signes que les termes de l'équation proposée, si l'on écrit les termes les uns au-dessous des autres, et l'on peut se demander si l'on peut choisir a de telle sorte que des permanences se changent en variations.

La multiplication de

(i) x" ^ Oix'^-^ -^ a.2X"-^-[- . . .-h ap-xxn-P+^ — a,,xn-P .. . par X — a donne

(2) JC«+'4- (r/i — r/).c"+ . . . + («/,-i - 'xa,,.-i)x'^-P+^—mx"'-P+'^ ..., OÙ m est positif; maintenant posons

les signes, dans la nouvelle équation, seront ceux de

Soit a^j le premier coefficient positif après — ap\ soit — a, le premier coefficient négatif qui suit, etc., les signes des termes suivants seront ceux, de

Dans le cas où les quotients A- qui entrent dans chaque groupe sont décroissants, la valeur de a est indifférente; on peut alors déplacer les variations, mais non augmenter leur nombre; dans le cas contraire, il existe une valeur de a comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de k d'un groupe qui augmente le nombre des variations; on peut déterminer facilement la valeur de a qui transforme le plus grand nombre possible de permanences en variations; la nouvelle équation peut être traitée comme la première, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à une équation où les quotients k sont tous décroissants dans chaque groupe. La limite du nombre des racines positives se déterminera de même façon en changeant ^ en — x.

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