TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. — SÉPARATION DES RACINES
Exemple :
x^-\- j:" -f- 4 .r^ -f- 8 x^ — x'* — j x^ — iix'^-\-\5ïx — 45o = o,
les nombres précédents donnentles valeurs des k; si l'on fait « = 3, les trois permanences se changent en variations, et l'on n'obtient que des permanences dans
et l'on a le nouveau groupe de signes
de sorte que, pour
on n'a plus qu'une permanence; l'équation n'a qu'une racine négative.
Le théorème de Newton donne
ainsi on a trois P-P. Pour trouver le nombre des racines positives, on change oc en — ^ et l'on a
x^ — .r" -+- 4 x^ — 8 x^ — x'*-\-'] x^ — l'iX' — 132^' — 43" = o ;
dans les dernières permanences, les quotients A- vont en diminuant, et la multiplication ne peut faire disparaître de permanences. L'équation a donc une ou trois racines positives, ce que nous apprend aussi la méthode de Newton.
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 2o3
Calcul des racines commensurahles.
122. Une équalion à coefficienls fractionnaires peut toujours, comme on l'a vu (42), être remplacée par une autre à coefficients entiers, le premier terme ayant pour coefficient l'unité. Dans la suite nous supposerons toujours qu'il en est ainsi.
Une équation à coefficients entiers et dont le premier terme a pour coefficients l'unité ne saurait avoir de racines fractionnaires.
Soit l'équation
(l) j:« + ri'i.r'^-i-|-«2.r"---4-. . .-^o,i = o.
Si la fraction irréductible - pouvait être racine de cette équation, on aurait
ou
— = — (aijyi-'i -{- a^p'^-- q -i- . . .-4- rt;,,f/«-i ),
ce qui est impossible, vu que le premier membre est une fraction irréductible, tandis que le second membre est entier.
123. Si l'on veut alors calculer les racines rationnelles d'une équation, on peut d'abord la mettre sous une forme telle qu'elle n'ait plus que des coefficients entiers; le premier étant égal à i , elle n'a plus en fait de racines rationnelles que des racines entières, et nous allons montrer comment on peut déterminer ces dernières.
Soit (i) l'équation donnée et t une racine entière, on a
^''-f-rti^'-i-f- r/-2;"-2-+-. . .4- a„2r--t- an-vt + fin = o;
il faut remarquer tout d'abord que t est un diviseur de a,^; on essayera donc les diviseurs de a^, et si aucun d'eux n'est racine, l'équation proposée n'a pas de racine entière.
Pour essayer le nombre t, on divisera l'équation précédente par t et, si l'on fait «„ = tq^-i, on aura
rtii"-2-)- rt.,^'-3.
«„i ^ fJa-\
d'où il résulte que a„i -i- q,i-x doit être divisible par t-, appelons q,i-2 le quotient, on voit de même que «„, -^ ^«-2 doit être divisible par t, et finalement on a
