go = o

Dès que dans le courant des opérations un quotient ^ devient fractionnaire, le nombre t essayé ne peut être racine. Au contraire, si tous les coefficients sont entiers et si l'on termine par ^0 = — ij le nombre essayé est racine et le premier membre de l'équation, débarrassé du facteur linéaire correspondant à cette racine, est

xn-r ryi ,/;«-2 q,xn-i — .. . — 7„i,

car, en multipliant le polynôme par ^— ^ on trouve

et comme

tqp-x-qp^cip,

CALCUL DES KACINES DES ÉQUATIO.XS NUMÉRIQUES. 2o5

on retrouve le premier membre de (i). L'exemple suivant rendra évidente la marche des calculs.

Exemple :

x"^ — 47-^'^-+- 4^3x3 — i4oj:2-4-i2i3.r -\- ^10 = o.

Essayons, par exemple, le noml^re 3, on aura

. . . — ï^ox^ -+- I2i3 x -I- 420 45i i4o

3ii i353

3 ne divise pas 3n et ne peut être racine; essayons 12, on a

12 est racine et l'équation divisée par ^ — 12 donne

x'* — 35^:3 4- 3.^2 — io4.r — 35 = o;

en essayant œ = 35, on a

— 35 o — io5

et l'on arrive à l'équation

qui n'a plus de racines rationnelles.

Pour diminuer le nombre des essais infructueux, il faut déterminer les limites des racines ; on diminue ainsi le nombre des facteurs de a^ à essayer en éliminant ceux qui sont compris en dehors des limites. Il faut ensuite observer que, sif{.x) est divisible par x — t, les nombres

doivent être entiers; les nombres les plus petits — i, +1,

substitués dans l'équation, donnent /(i), /(— i) et, dans l'exemple précédent, on a

Il n'est donc pas nécessaire d'essayer le nombre lo, car i4o4 n'est pas divisible par ii; il faut essayer, au contraire, — lo parce que i4o4 est divisible par 9 et 1870 par 11; on a

qui n'est pas divisible par 12. On voit alors que —10 n'est pas racine.

Interpolation.

124. Lorsque l'on a séparé les racines d'une équation, il est nécessaire de rapprocher, autant que possible, les limites qui comprennent cette racine, avant d'appliquer les méthodes d'approximation. On arrive à ce résultat en substituant des valeurs intermédiaires dans f{oc), et l'on peut continuer ainsi jusqu'à ce que l'on ait repéré les racines entre des limites aussi rapprochées que l'on veut.

Bien que cette méthode soit théoriquement assez simple, elle ne laisse pas que d'être très pénible en pratique, et l'on suit une autre voie qui permet d'arriver plus facilement au but.