Différences cV une fonction. — Soit

UQi "i, Un.

une suite de quantités déterminées d'une manière quelconque; si l'on pose

(l) Un+x — lln= ^Ihi-,

^Un est ce que l'on appelle la première différence de u,i; on construit d'une manière analogue la seconde, la troisième différence, etc. Ainsi

{ y-Un-i-i — ^-i'n= A3</„. etc.;

on en déduit

A2«„ = \ll„+i — \Un

= 11,1+1. — lln+l — Un+i -f- «« = ^<,^^-2 — 2/<„^.l + ?<„,

= /<,j + 3 — 3«„ + 2+ 3?/„^-i ll„ ;

comme on voit, les coefficients sont ceux des puissances de a — 6 et l'on a en général

(3) \Pl/n - «/.+,. - ^ ».+p-l+^'^^^~'^ ?/,,+„2--. . .+ (-I)/'?/,,,

et Ton voit que les dllférences peuvent s'exprimer en fonction des fermes de la suite Uo, u^, Réciproquement, les

termes de la suite peuvent s'exprimer à l'aide des différences. On a, en effet,

d'où

mais

donc

De même

?<2 = Ui -+- A«,, «2 = «o-t- 2A«o-+- A-//,,.

= «0+ 2AMo-r- A2«o-|- A?/o+ .^ A^ Wq + A'' «0

= «0-+- 3Az<o+ A^Sz/o-H A3//0,

et l'on voit que les coefficients sont ceux des puissances de a ^- b. On a ainsi, en général.

(4) ///, = ?/oH- - A?<o+ — ^^ A^i/o-}-..

AP?<o.