Différences des fonctions entières. — Soit
(5) u = f{x) — aox" -h o,x«-i + . ..
2o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I!.
une fonction entière de x, dans laquelle on donnera à x successivement les valeurs
j"o ; ^0 -i- ''^ ! x^-\- i}i\ ... ; .2-0 -^ nli:
soient
llQ, Ui, «2, •••, Un
les valeurs correspondantes de ii.
On a alors
(6) ^u =f{x + /i)-f{x) = «r/oX«-i/i ^. . .
et il en résulte que Au est de degré inférieur d'une unité au degré de u; A^m est de degré inférieur de deux unités et a pour premier terme n{n — \)a^x'^-^'h'^, etc.; il en résulte que lorsqu'une fonction est de degré n, sa n^^"^^ différence est constante et
Les différences d'ordre supérieur sont nulles. Une suite dont les différences d'ordre n sont constantes est une suite différentielle d'ordre n.
Exemple :
Uq Ui
Il 2
Ils «4
AUq lUi
[JD
^^-Uo ^'
Ai
Uo
Les formules (4) et (3) donnent
?/5 = I -i- 5. i5 -+- 10. 5o -i- 10.60 + 5.24 = 1296 = 6^, Ai?/o = I — 4.16 -f- 6.81 — 4.256 + 625 = 24.
127. Substitution de valeurs équidistantes de x dans f{x). — Si l'on veut calculer /(j?) pour des valeurs équidistantes de X, on peut le faire pour n valeurs équidistantes de x et obtenir les autres valeurs de/(^) au moyen de simples additions.
Supposons, par exemple, que la fonction donnée soit
u =^ x^ — 'ix -f- 6,
et que l'on désire en obtenir les valeurs pour j; = i, 2, 3, . . .; alors si 0^0= i> pour
a: = I, x = 2, ,r = 3, u lu l'^u l^u
Comme l'on sait, la dernière différence est 6. Pour A-u, le calcul peut se faire en observant que les différences de deux différences secondes est égale à 6; il suffira d'avoir une seule différence première pour avoir toutes les autres quand on connaîtra les différences secondes et, enfin, on aura toutes les valeurs de « dès que Ton aura l'une d'elles ; il suffira donc d'avoir calculé trois valeurs de u et d'en déduire directement deux valeurs de A«, puis une de A.-u. On trouve ainsi, pour
puis, pour A«,
—4» 2, puis, pour u,
ainsi l'on trouve
128. Calcul de f{x) au moyen de ses valeurs pour n + i valeurs équidistantes de x. — Si l'on écrit la formule (4) P. i'.
SOUS la forme
et si l'on y fait
puis si l'on y suppose Uo, Ai/^i ^'"o^ • ■ ■ remplacés par leurs valeurs déduites de u=f{x), on a
I x — .ro S.iin ( x — .ro ) f .r — .tq— /i) A^ //„
^ ^ j (.r — .r») f.r — .rp — /Q . . . [.r — .rp — (n—i)//] \" it,
Comme cette formule a lieu pour toutes les valeurs entières de p, elle aura lieu aussi pour
X = ,ro, X = X(,-i- /i, Jc = Xo-h -î/i. . . . , X = Xq -i- /t/i.
Si l'on désigne le second membre par F(.r), on aura donc
pour n +1 valeurs de œ; comme celte équation est au plus de degré n, c'est une identité; on a donc exprimé /(^) au moyen de ses valeurs pour n -+- 1 valeurs équidistantes de ce, et cela sous une forme qui est souvent utile.
Exemple. — Trouver une fonction du troisième degré prenant pour œ^zzi, j?=2, x^?>, X =1 /^ les valeurs 5, ii, i3
et 2 1. On a
