X. u. Zu. 5=«. S' M
2,0 Il ,000
Si l'on prolonge ce Tableau par le haut, on trouve que la fonction s'annule pour une valeur de x comprise entre x = 0,6 et ^1=0,7.
Méthode d'approximation de Newton.
130. Supposons qu'une racine de/(^) = o soit séparée par deux nombres voisins a et 6 où a < 6. Si l'on pose ^ := a, on a une erreur jpj déterminée par l'équation
/(rt + .ri)=o OU o=f{ci)+f'{a)xi-\--f"{a)x\-+-...\
comme x^ est très petit, les termes en x\, œ\, . . . sont très petits en comparaison de ceux qui contiennent x^. Newton les néglige et pose
o=/(«)-+-/'(rt).ri, d'où .ri = — — — ;
d'où
On obtient ainsi une valeur approchée qui, en générai, sera plus satisfaisante que la première; de celle-ci on en déduira une autre par le même procédé, et ainsi de suite.
Exemple :
x^ — IX — 5 = o;
une racine est comprise entre 2 et 2,1, on a
si l'on fait a^=.i, on a
on a
/(2,i) = o,o6i; /'(2,i) = ii,23,
d'où
■r = 2, 1 — o,oo54 = 2,0946,
2 [4 TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE H.
et de là on déduit encore
131. Défaut de la méthode. — La méthode de Newton est d'une application assez simple, mais elle ne peut pas toujours être employée avec certitude, parce qu'il peut arriver que l'erreur, au lieu de s'atténuer, aille en grossissant. On s'en rend compte au moyen d'une représentation géométrique; on doit déterminer l'intersection de la courbe y=f{a;) avec l'axe des œ. On a trouvé un point dans le voisinage du point
Fig. 9. . Fig. 10.
d'intersection, qui a pour abscisse a; la méthode de Newton revient à remplacer la courbe par sa tangente au point qui a pour abscisse a; cette tangente a, en effet, pour équation
et son intersection avec l'axe des œ s'obtient en faisant j = o ; d'où
fia)
ce qui est la formule de Newton; on voit que le point où la tangente coupe l'axe des x peut être plus éloigné du point cherché que le point d'où l'on est parti. Pour cette raison (Fourier, Housel, etc.), on a cherché à perfectionner la méthode de manière à approcher constamment de la racine cherchée. Pour arriver au but, il faut connaître une valeur approchée par excès et une valeur approchée par défaut. Ce qui suit va résulter des explications que nous venons de donner.
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 2l5
132. Nous supposerons l'équalion débarrassée de ses racines multiples. Nous supposerons, en outre, que f {oc) et f"{^) ne soient pas nuls en même temps. On peut alors supposer que les limites de la racine cherchée soient assez rapprochées pour que, entre ces limites, f'{x) et /"{a;) ne changent pas de signe. L'ordonnée de la courbe y=:f{x) est alors, entre ces limites, toujours croissante ou toujours décroissante, et sa concavité est toujours tournée du même côté; comme f{x) change de signe dans l'intervalle, f{x) et f"{x) ont le même signe à l'une des limites; si l'on part de cette limite, la méthode de Newton fournira une valeur plus approchée, ainsi que l'on peut s'en assurer à l'inspection des quatre figures ci-dessous :
Fig. II. Fig. 12.
Fig. i3. Fig. il^
Dans la première et dans la dernière figure, /"(a?) est positif, et l'on part de la limite pour laquelle f{x) est positif; dans les deux autres, f"{a;) est négatif et l'on part de la limite pour laquelle f{x) est négatif. Si l'on mène une sécante passant par les points correspondants aux deux limites, cette sécante coupe l'axe des x en un point qui, avec le point où la tangente rencontre le même axe, fournit deux limites plus rapprochées entre lesquelles la racine se trouve comprise; la sécante a pour équation
J-fi/') = - ^^ (-^ - «),
et elle donne
-a fia)
2l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
OU
fU')=f{a)-^f'{a)—^ h/ («)— 777^ +•••>
Si donc a et h sont deux limites telles que f{a) et f" {a) soient de même signe
(Il = a -T,
./ («) et
lji=z a —
sont deux nouvelles limites plus approchées.
Exemple. — Nous avons considéré l'équalion
x^ — IX — 5 = o, où
f{x) = x'^ — IX — 5; /'(^) = 3uC2 — 2; /"(.r) = 6.r.
Une racine est séparée par les limites 2 et 2, i ; on a
el/"(2, i) est positif.
«1 = 2,1 — o,oo54 = 2,0946, , 0,061
Si l'on part de ces nouvelles limites, on trouve
Méthode de Lagrange.
133. Lorsqu'une racine se trouve séparée par deux entiers consécutifs a et a + i, on peut poser
et former l'équation en x^ ; si la racine cherchée était négative, on changerait ^ en — r.
Si l'équation proposée n'a qu'une racine entre a et « + 1, la transformée n'a qu'une racine supérieure à i ; celle-ci pourra être séparée par deux entiers Z^ et 6 + 1, et l'on posera
En poursuivant ainsi les calculs, on ohlient le développement de la racine en fraction continue
Si l'équation proposée avait plusieurs racines entre a et a-t- 1, la transformée aurait plusieurs racines supérieures à i; chacune d'elles donnerait lieu à un calcul analogue.
Exemple :
f{x) = x^— -ix — 5 = 0,
on pose
f{x) =/(.) + /'(a)i- 4- i/"(2) ^ + ^ = — H-io i-6^--l T>
Xi x\ X[
et la transformée
/i(,ri) = x\ — \ox\ — Ç>x^ — \ = o;
la racine positive de cette équation est comprise entre 10 et 11; on pose
On a
fi{x) = ^s io,r2 — 6x — I, /i(io) = — 61, f\ix) = 3x^—20x — 6, /i(io) = -f-94,
~fl{x) = 32X — IO, i/'|(io)= + 20,
2l8 TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE H.
et la transformée est
— 6ixl-T- ç)^xl-\- lox^-T- 1 = o,
dont la racine positive est comprise entre i et 2. La racine cherchée est comprise entre
2 H et 2 -H >
ou entre
134. Cette méthode ne conduit que péniblement à une approximation convenable. Lagrange a montré comment on pouvait simplifier la dernière partie du calcul; mais, comme les calculs sont encore compliqués, malgré ce perfectionnement, la méthode n'est pas avantageuse et, pour cette raison, nous ne l'exposerons pas. Au contraire, nous montrerons que cette méthode peut être remplacée par une autre plus avantageuse en profitant de la forme particulière de l'équation transformée.
Considérons l'équation trouvée plus haut
fi(xi ) = xl — io.rf — 6x1 — 1 = 0.
Si l'on développe en série récurrente une fraction dont le dénominateur est/i(^), cette série passera de l'état de convergence à l'état de divergence quand œ^ passera par la racine cherchée et rendra la fraction infinie; développons alors -fT—-, nous aurons
oi^i les coefficients sont liés par la relation
an= iort„i-i- 6«„2-!- a, 1-3;
on trouvera successivement, pour ces coefficients, les valeurs
I, 10, 106, 1121, ii856, I253g2, 1326177, ••••
En vertu d'un théorème de Cauchy, lorsque la série de convergente devient divergente, le rapport d'un terme au précédent passe par la valeur i; ce rapport est
de sorte que -^ tend vers — ; en faisant usage des deux derniers coefficients calculés, on trouve
.ri
Si l'on calcule encore un coefficient, celui-ci et le précédent fourniront une valeur de x qui a, avec celle que nous venons de trouver, dix décimales communes.
135. Cette méthode revient, au fond, à celle que Daniel Bernoulli a fait connaître; voici en quoi elle consiste : Calculons les fonctions symétriques des racines
Si ^1 est la plus grande racine, pour une grande valeur de m, s„i et s,„^i pourront être remplacées par leurs premiers termes et l'on aura
En faisant usage de 5,„ et 5(„,^i), on peut de même trouver la plus petite racine.
Si l'on observe alors que
j:f'(x) Si s.,
on voit que la méthode exposée plus haut coïncide avec celle de Bernoulli quand on prend xf'{x) pour numérateur.
Cette remarque montre dans quel cas il sera avantageux d'employer la méthode. Pour que tous les termes que l'on
220 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE II.
néglige soient petits par rapport à ^'", il faut qu'il n'existe pas de racine ayant une valeur absolue voisine de celle de œ^, ni de racine imaginaire dont le module difîère peu de celui de ^1. Si deux racines imaginaires ont un module maximum, le rapport de deux sommes consécutives ne tendra vers aucune limite; si, par exemple, ces racines sont
r(cosO ± i siiiO),
on aura
s„i = 2 r'" cos /?i 0 + . . . ,
X/n+l = 2r'« + ' cos(w -H I ) 0 -t-. . .,
et, en négligeant les termes d'ordre inférieur,
s,n+\ cos(m + i)0 s,n cos m 6
m croissant indéfiniment, cette expression n'a pas de limite. L'emploi des séries entières conduit aux mêmes conclusions. Pour que l'on puisse appliquer la méthode avec succès, il faut que l'on puisse mettre l'équation sous une forme telle que les termes de l'échelle de relation aient le même signe et décroissent assez rapidement ; la méthode pourra donc s'appliquer concurremment avec la méthode de Lagrange qui, en général, conduit rapidement à une équation transformée jouissant de la propriété requise.
