Nous traiterons encore un exemple. L'équation
a deux racines comprises entre i et 2 ; si l'on pose
.ri
on obtient la transformée
X] 4 '^'l -H SoTi -h I = O,
qui a une racine entre i et 2 et une autre entre 2 et 3; on devra traiter chacune à son tour; en considérant la seconde
on posera
d'où l'on déduit
qui a une racine positive entre i et 2; on posera
et l'on aura
xl— 3.r| — 4.r3 — I = o;
la racine positive de cette équation est comprise entre 4 et 5. Posons enfin
on obtient la transformée
xl — 7.0x1 — 9.r4 — 1=0;
l'échelle de relation est
20, 9, I, et, à l'aide de ces nombres, on forme les coefficients
I, 20, 409, 836i, 170921, 349078. Si l'on pose
on a
Xr,=
349ÎO78 I 7092 I
ou
137. Après la méthode de Bernoulli, il convient de mentionner celle de Graffe. Elle consiste à poser ,3; = y/y et à faire évanouir le radical; on obtient alors une équation dont les
racines sont les carrés des racines de la proposée; si l'on continue de la sorte en calculant les coefficients par logarithmes, si l'on finit par trouver une transformée dans laquelle les logarithmes des coefficients vont en doublant : c'est un signe que les racines sont négligeables vis-à-vis de la plus grande. Supposons, par exemple, que l'on ait élevé les racines à la trente-deuxième puissance et que l'on ait obtenu l'équation
:^"-t-rti:;«-i-!- «2 -""- + • . . = o.
Si l'on pose
x-p = — ai,
en négligeant les termes d'ordre inférieur, on trouve les racines quand elles sont réelles, mais la présence des racines imaginaires complique la question comme dans la méthode de BernouUi; aussi n'entrons-nous pas dans plus de détails.
Méthode de Horner.
138. La méthode de Horner s'appuie sur ce fait que, étant donnée une équation, on peut en déduire une autre dont les racines sont égales à celles de la proposée, diminuées d'une même quantité; la méthode tire son importance de la manière même dont se fait la transformation, qui est assez simple.
Soit
l'équation donnée; pour diminuer les racines de a, on prend pour nouvelle inconnue x — a cl l'on pose
fia:) =/(a + ^- - a) =/(a) +/'(a) (x - a) + Ç^ (■^- - '-^T-^-- •
On voit que /(a) est le reste de la division de/(j:) par X — y., que /'(a) est le reste obtenu en divisant le quotient
par^r — a, etc.; par des divisions successives par ^ — a, on obtient les termes successifs de l'équation transformée.
Pour effectuer la division par x — oc, on peut faire usage de la méthode employée pour développer une fraction en série, l'échelle de relation est a; si le dividende est
et le quotient
X — a on a
h^= a(,. bi = Oi-h xbo, b^=^a^-\- olI^i, ..., b ,, = a p -\- 'x b ^^i
On a l'habitude de disposer les calculs comme on va l'indiquer à propos des racines de l'équation
3^5 j;3 4 ^x--\-Sx 8=0,
en diminuant les racines de deux unités; on a, en n'écrivant que les coefficients,
l'équation transformée est ainsi
3^5-1- 3o,r^-i- 1 \<jx^-\- 238x2-1- 249^ -\- loG = o.
La multiplication par 2 (a) et l'addition ont été menées de front; si l'on avait affaire à des nombres composés d'un plus grand nombre de chiffres et qu'il fût impossible de faire les opérations de tête, il serait bon d'écrire le produit ab,, audessous de ttp+Y et d'ajouter comme on l'a fait dans l'exemple que nous traitons un peu plus bas.
On fait usage de cette méthode pour trouver les chiffres de la racine successivement. Supposons, par exemple, la racine comprise entre 2 et 3; on diminuera les racines de deux
unités; on cherchera la première décimale de la racine : on réduit pour cela l'équation à ses deux derniers termes; si l'on trouve que cette décimale est 5, on diminuera les racines de 0,5 et l'on continuera ainsi de suite; il peut arriver que, en procédant ainsi, on trouve un chiffre trop fort pour la décimale cherchée; on en sera averti, parce que, dans l'équation transformée, la nouvelle racine est négative ; alors on essaye un chiffre moins élevé; si l'on a trouvé un chiffre trop faible, la suite du calcul ne tarde pas à mettre le fait en évidence.
Comme exemple, nous reprendrons l'équation étudiée plus haut
Cherchons la racine
comp
irise entre i,3 et 1
[,4; le calcul se
dispose ainsi :
-Hl
La racine a été diminuée de i,3; le chiffre suivant est déterminé par l'équation
1,93^ = 0,067, j: = o,o5; on diminue alors la racine de o,o5
47oo
les deux derniers termes donnent alors le chiffre 6; ainsi
d'où l'on déduit le chiffre suivant 8.
139. Lorsque l'on a ainsi trouvé quelques chiffres, on peut trouver plusieurs des suivants par une méthode abrégée; on voit, par exemple, que, pour trouver le chiffre 8, il n'est pas nécessaire de faire usage des quatre dernières décimales des deux dernières séries; on laisse de côté les deux derniers chiffres de la première série et les chiffres correspondants des séries suivantes.
Calcul des racines imaginaires.
140. Il a été prouvé (110) que l'on pouvait séparer les racines imaginaires en cherchant des limites pour les modules et les arguments de ces racines, ou en cherchant des limites entre lesquelles sont comprises la partie réelle et la partie purement imaginaire. Ensuite, on peut utiliser la métliode de Newton pour déterminer plus complètement les racines. En général, le calcul présentera de grandes difficultés, car l'on n'a pas de moyen commode pour s'assurer que l'on approche effectivement de la racine; aussi vaut-il mieux employer un autre moyen, et l'on ramène la recherche des racines imaginaires à la recherche des racines réelles d'une autre équation.
Soit
l'équation à résoudre: posons
on a
équation qui se décompose en deux autres :
et
/(J) -/"0-) -^ +/"(/) pf^ — . . = o,
Si l'on élimine y entre ces deux équations, on obtient une équation en z, où z n'entre qu'avec des exposants pairs et qui, par conséquent, peut être abaissée. On déterminera, d'après les méthodes exposées plus haut, les valeurs positives de z-; on sait que les méthodes d'élimination permettent d'exprimer y rationnellement en fonction de z; chaque valeur de z donnera une valeur correspondante de y, si nous supposons l'équation donnée à coefficients réels et qu'une seule paire de racines conjuguées ont la même partie imaginaire, en sorte qu'à une valeur de z^ne correspond qu'une valeur dej; si deux paires de racines ont la même partie imaginaire, une équation du second degré donnera les valeurs correspondantes de y, et ainsi de suite, conformément à ce qui a été dit dans la théorie de l'élimination.
On comprendra mieux l'esprit de cette méthode en la considérant à un autre point de vue. Soient ^Tj et ^2 deux racines conjuguées, et soit
lors
Jl= -(Xi-HJTî),
- (Xi -Co)-,
l'équation en z^ est donc, à un léger changement de variable près, l'équation aux carrés des différences. Elle a une racine négative correspondant à chaque couple de racines imagi-
CALCUL DES RACI.XES DES ÉQUATIONS .NOMÉRIQUES. 227
naires de la proposée, une racine réelle correspondant à une combinaison de deux racines réelles, et une racine imaginaire correspondant à chaque combinaison d'une racine réelle et d'une racine imaginaire, ou de deux racines imaginaires non conjuguées.
Exemple :
x'*-^ ax^-h ùx -h c = o,
on trouve
4/3 -4 2rt/ -h Z» — 4j:;2 = o, et, en éliminant z-.
rB ■ «v.H-"^-4S. '' .
Pour
on a les deux équations
r'-|r'~ji=o, ='=j'
Si l'on pose
on a
i>^— ii> — 1 = 0,
ou, en diminuant de 2 les racines,
en faisant usage d'un développement en série récurrente, l'échelle de relation est
