QUATRIÈME PARTIE. — CHAP. I. — DES SUBSTITUTIONS, ETC
gent donc de signe par couples ; abstraction faite de p — q, qui se change en q — p, le produit tout entier change donc de signe par la transposition {pq)- Si donc le produit des transpositions employées est égal à i, il faut que le produit des différences considérées ait changé de signe un nombre pair de fois, c'est-à-dire que le nombre des transpositions en question soit pair.
Quelle que soit la manière dont une substitution a été décomposée en un produit de transpositions, le nombre de ces transpositions est toujours de même parité.
En effet, supposons qu'un produit de m transpositions soit égal à un produit de n transpositions. Si l'on multiplie ces deux produits successivement par les n transpositions, on obtiendra un produit de m -\- n transpositions égal à i; donc m H- n est pair et, par suite, m et n sont de même parité.
On est donc conduit à considérer deux classes de substitutions : les unes sont un produit d'un nombre''pair de transpositions; les autres sont un produit d'un nombre impair de transpositions; les premières sont dites positives, les autres sont dites négatives, parce qu'elles ne changent pas ou changent le signe du produit de différences. On voit facilement qu'une substitution circulaire est positive quand elle opère sur un nombre impair de lettres, et qu'elle est négative quand elle opère sur un nombre pair de lettres. Si une substitution est décomposable en \i. cycles de «i, n^, . . ., n^ lettres respectivement, son signe sera celui de
de sorte que la différence entre le nombre des lettres et celui des cycles sera pair ou impair, suivant que la substitution sera positive ou négative.
Théorème de Lagrange.
158. On dit que des substitutions forment un groupe ou un système conjugué, lorsque le produit de deux quelconques de ces substitutions fait partie de leur système. Les puissances d'une même substitution, par exemple, forment un groupe. Les substitutions en nombres! que l'on peut former avec n lettres forment également un groupe (le groupe général). Pour exprimer que le groupe G est formé des substitutions I, S,, S,, . . ., on écrit
Le nombre des substitutions d'un groupe est Vorclre de ce groupe, le nombre des lettres sur lesquelles il opère est son degré; l'ordre du groupe formé des puissances de S est égal à l'ordre de S.
159. Si un groupe Y d'ordre jx est contenu dans un groupe G d'ordre m, ^ est un diviseur de m (Théorème de Lagrange).
Supposons le premier groupe F formé des substitutions
soit Ti une autre substitution de G, ce groupe G conliendra les sui)Stitutions
Ti, S,T,, S,Ti, ..., Sa,Ti;
si G contient encore d'autres substitutions, soit Ta l'une d'elles, il contiendra
T2, SiTo, S, T., ..., Sa-iTo;
et ainsi de suite. On obtient ainsi les substitutions de G ordonnées en des séries contenant chacune p. substitutions et le théorème sera démontré, si l'on constate que toutes ces substitutions sont différentes. S'il n'en était pas ainsi^ on aurait
SaTp = So(,Tp,
pour certaines valeurs de a, |3, «i, [3,. Soit j3 >[3,, on aurait
T,s=S-iSa,Tp,,
ce qui est impossible; en effet, le second membre fait partie des substitutions
et l'o ne fait précisément pas partie de ces substitutions.
On verrait de même que les substitutions du groupe G peuvent être ordonnées en séries de la forme
Ta, TaSi, TaS,, ..., TaS^.-,.
Du théorème que nous venons de démontrer on tire les conséquences suivantes qui sont très importantes :
L'ordre cl un groupe de degré n est un diviseur de n\
Car ce groupe est contenu dans le groupe général.
Vordre d'un groupe est divisible par l'ordre d'une quelconque de ses substitutions.
Car il contient le groupe formé des puissances d'une quelconque de ses substitutions.
Un groupe dont Vordre est un nombre premier p ne contient que des substitutions régulières d'ordre p {excepté la substitution i). Si son degré est p, le groupe se compose des p puissances d'une substitution circulaire d'ordre p.
SUBSTITLTIO>S CONJUGUÉES OU GROUPES. 2Zi7
On voit aussi que
Les substitutions communes à deux groupes forment un groupe.
Car le produit de deux de ces substitutions appartient aux deux groupes.
Les substitutions d'un groupe qui ne déplacent pas des lettres données forment un groupe.
Car si certaines lettres ne sont pas déplacées par deux substitutions elles ne le sont pas non plus par leur produit.
Toutes les substitutions d'un groupe qui sont échangeables avec une substitution donnée forment un groupe.
Substitutions permutables avec un groupe.
