Les transformées des substitutions

I , Si, So, • • • ) S/M— 1

d'un groupe G par une substitution quelconque T forment

elles-mêmes un groupe.

En effet,

TSiT-'TSoT-' = TCSiSoJT-i.

Les substitutions des deux groupes sont semblables deux à deux, et dans ce cas on dit que les deux groupes eux-mêmes sont semblables.

Lorsque le groupe transformé coïncide avec le groupe primitif on dit que la substitution T est permutable avec le groupe G. Dans ce cas, on a, pour chaque valeur de a, une

valeur de (3 telle que

TSa=SpT.

Toutes les substitutions d'un groupe G, qui sont permutables avec un groupe R forment un groupe.

En effet, si U et T sont permutables avec H = (i, Si, S2, .. ) on a

UTSa(UT)-i = UTSaT-iU-i= USpU-i = Sy,

de sorte que UT est aussi permutable avec H.

161. Un groupe est simple, quand il ne contient aucun groupe avec lequel toutes ses substitutions sont permutables, dans le cas contraire il est composé.

Soit G un groupe composé qui contient le groupe H avec lequel toutes ses substitutions sont permutables; soient

les substitutions de H, soit T une substitution de G qui ne soit pas contenue dans H; H peut contenir des puissances de T, soit T=' la puissance la moins élevée de T contenue dans H, les substitutions de la forme

TPS,.

sont contenues dans G et sont différentes pour (3 < a ; pour (3 = a, on obtient les substitutions de H, et pour [3> a, on obtient périodiquement les mêmes substitutions que tout à l'heure, et les substitutions de H quand [3 est un multiple de a. L'ordre de T doit donc être un multiple de a.

Les am subslitutions que nous venons d'obtenir forment un groupe Hi; en effet, on voit que le produit de deux quelconques d'entre elles appartient à la suite de ces am substitutions, car pour une certaine valeur de h on a

TPSa-=S/,TP.

Sur la formation de quelques groupes.