Les substitutions qui transforment T en une de ses
puissances forment un groupe.
En effet, si a et (3 sont premiers avec l'ordre fx de T et si
l'on a
MTM-'=T^, NTN-i = TP,
on a aussi
(MN)T(MN)-i = MNT. . .M-i = MT?M-i = MTM-i MTM-i N-i= T«P ;
de sorte que MN fait partie des substitutions considérées si M et N en font partie.
On peut voir que l'on obtient encore un groupe, si, parmi
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. "i^g
les substitutions du groupe considéré, on ne prend que celles dans lesquelles les exposants de T satisfont à une certaine condition si cette condition est telle que a^ y satisfait quand oc et (3 y satisfont, a^ étant pris suivant le module fi. ; cela a lieu non seulement quand a et 3 sont premiers avec [x, mais encore quand, a et (3 étant premiers avec [j., ils satisfont
à la congruence
x9 = /l'« (mod ix),
où d et k sont des nombres donnés, le second premier avec [i, m étant quelconque.
En effet, si l'on a
on a
Considérons, par exemple, une substitution circulaire Tde jjL lettres, prenons pour a et [3 tous les nombres premiers avec ix; le nombre de ces entiers est 9(/Jt); considérons les o([jl) puissances de T dont l'exposant est premier à /m, et inférieur à ju., chacune d'elles peut être formée par transformation de T, et fournir /x substitutions, car chaque lettre de la puissance de T peut être placée la première. On obtient ainsi un groupe de i^o(jdl) substitutions, et si ix est un nombre premier/» l'ordre de ce groupe sera p{p — i). On pourrait aussi se borner à considérer les substitutions que l'on obtient quand on écrit T et ses puissances de manière qu'elles commencent avec la même lettre; cette lettre ne figure pas alors dans les substitutions cherchées, et celles-ci sont alors des substitutions de /j- — i lettres et forment un groupe d'ordre 9 (fi).
Exemple I :
La transformation se fait par
qui avec i forme un groupe du second ordre.
25o QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Si l'on écrit T^ de toutes les manières possibles, on obtient un groupe du douzième ordre qui contient le précédent. Exemple II :
T = (rt b c d e)^
Si a conserve sa place dans la transformation, on obtient le groupe du quatrième ordre
On a vu que si (j. désignait un nombre premier/» on obtenait un groupe de p — i lettres d'ordre/? — i; ce groupe se compose des puissances d'une substitution circulaire d'ordre p — i, s'il entre une pareille substitution dans le groupe. On peut poser
T=(rto, (Il fl^ . . . cip-i), 1''= {cio ttr Clir •••))
et on obtient la transformante
qui est circulaire si /• est racine primitive de /?, ce qu'on peut supposer, puisque tout nombre premier a des racines primitives; le groupe cherché est alors
