Parmi les '^ =. n\ substitutions que l'on peut forme

avec n lettres, celles qui sont positives forment un groupe

N d'ordre — et il n'y a pas d'antre groupe de cet ordre.

Lorsqu'un groupe contient une substitution négative, il doit contenir autant de substitutions négatives que de substitutions positives. Si l'on multiplie toutes les substitutions de ce groupe par une de ses substitutions négatives on retrouve le groupe; comme cette multiplication change les substitutions négatives en substitutions positives et vice versa, il faut qu'il y en ait autant des unes que des autres; comme, d'ailleurs, les substitutions positives forment un groupe, il faut que

N toutes ces substitutions positives forment un groupe d'ordre —

Ce groupe porte le nom de groupe alterné.

N Considérons maintenant un groupe d'ordre — formé des

s ubstitutions i , S,, S,, ... ; soit T une substitution quelconque

N qui ne fait pas partie du groupe, les - substitutions ST sont

différentes entre elles et différentes de i, Sj, S,, . . ., les substitutions S et ST sont alors en nombre N et contiennent toutes les substitutions possibles : les substitutions S doivent donc renfermer et se confondre avec les substitutions T-S et

de même avec les substitutions T* S, ï'^ S,

Alors T doit être d'ordre pair, sans quoi TS devrait se trou-

ver dans le groupe considéré. Ce groupe devra alors contenir toutes les substitutions circulaires du troisième ordre et par suite le groupe alterné car on a

ce qui montre que toute substitution positive peut être mise sous la forme d'un produit de substitutions circulaires du troisième ordre.

Une fonction qui, sans être symétrique, n'est pas altérée par les substitutions du groupe alterné est dite alternée. Une pareille fonction n'a que deux valeurs, toute substitution ayant la forme S ou ST, S appartenant au groupe alterné et T désignant une substitution négative quelconque; puisque la fonction n'est pas altérée par les substitutions S, elle ne peut posséder qu'une valeur distincte d'une valeur donnée, valeur que lui fait acquérir la substitution T. Pour « = 3

est une fonction alternée qui prend les valeurs r et — y.

16i. Un groupe qui contient toutes les substitutions circulaires du troisième ordre est ou le groupe alterné ou le groupe général.

Car on a vu qu'un pareil groupe contenait toutes les substitutions positives.

Un groupe qui contient toutes les substitutions circulaires d'ordre p est le groupe alterné ou le groupe général.

Car on a

(«i«2«3) = {a^a^a.^a-ia-i . . . ap){apap-i . . . a5«2«'i«4«3),

en sorte que le groupe contient toutes les substitutions circulaires du troisième ordre.

Groupes que l'on peut former par la multiplication des substitutions d'autres groupes.