Quand deux groupes
inl tels que
SaTp =
pour toutes les valeurs de a et j3 et pour des valeurs convenables de [3i et «i, on dit que ces groupes sont échangeables.
Si l'on multiplie toutes les substitutions S d'un même côté par toutes les substitutions T, on obtient un nouveau groupe d'ordre mn, si les groupes considérés n'ont d'autre substitution commune que l'unité.
En effet, toutes les substitutions obtenues ainsi sont différentes, car, si l'on pouvait avoir
on en conclurait
et les groupes auraient en commun une substitution qui, évidemment, est différente de l'unité. D'ailleurs
SaTpSaJp,,
par un échange de facteurs et d'indices convenables, peut être ramenée à la forme
SyTs,
ce qui montre que nos mn substitutions forment un groupe. Des théorèmes analogues peuvent être énoncés pour un grand nombre de groupes.
Théorème de Cauchy.
166. Si p est un nombre premier, il existe un groupe de k lettres dont l'ordre est la plus haute puissance de p qui diviie k '
Si k<p, le groupe i d'ordre />" est le groupe dont il est question dans l'énoncé. Pour démontrer le théorème il suffit de montrer que s'il a lieu pour tous les nombres inférieurs h p'^ i\ a encore lieu pour tous les nombres inférieurs à />*+*.
Tout nombre inférieur à /?''+' peut être mis sous la forme pq -i- f où q <.p'^ et r<,p; nous admettrons qu'avec les g lettres a, b, c, . . . on peut former un groupe d'ordre /jP où p^ est la plus haute puissance de p qui entre dans q\
Au moyen de chaque substitution {abc . . .), {de . . .), ... de ce groupe nous pouvons en former une autre
{aihiCi. . .){a.2h2Ci ...).. .{a,yhpC,,. . .) X (rfici ...){che.2... )...{d,,e,,. ..)
en remplaçant chaque cycle par un produit de p cycles composés des mêmes lettres affectées d'indices différents. Les substitutions ainsi obtenues forment un groupe de degré pq et d'ordre /:>P ; soit
ce groupe; ses substitutions échangent les lettres sans toucher aux indices. Désignons les substitutions circulaires
{ai^'i Cp), {biù.2. . ..bfj), ...
par
Sa, Si, ...
respectivement. Ces substitutions échangent les indices sans modifier les lettres. Le groupe cherché est composé de substitutions de la forme
Sa, S^ .... Cjj.,
et leur nombre eslp'^p^.. Nous allons montrer que toutes ces substitutions sont distinctes et qu'elles forment un groupe; on a, en effet, si Cj^. remplace b par a,
SIC, = C,Sr,
car les deux substitutions que l'on vient d'égaler remplacent
b/, par «!^-hy; on peut donc échanger des facteurs S et C dans un produit SC pourvu que l'on modifie convenablement l'indice de S. Si l'on pouvait alors avoir
il faudrait qu'une substitution C qui n'échange que des lettres pût s'exprimer à l'aide d'un produit de substitutions S qui n'échangent que des indices. Cela étant impossible, les /)'?+P substitutions considérées sont toutes distinctes; elles forment un groupe, car le produit de deux d'entre elles peut être ramené à la même forme en faisant reculer leur facteur C; ce produit appartient donc à l'ensemble des/>'?+P substitutions.
Il reste à trouver la puissance la plus élevée de p contenue dans {pq + r)\; si l'on met à part les facteurs non divisibles par/? on trouve /^''^l et/>P étant la plus haute puissance contenue dans ql, p'^'^1 est la plus haute puissance de p contenue dans {pq -\- r)\. Il est donc prouvé que l'on peut trouver un groupe d'ordre />P+'? oiî /?P+'? est la plus haute puissance de p contenue dans A !, où A' est le nombre des lettres.
167. Si le groupe G d'ordre g contient les groupes H, K d'ordres h, k et si H ne contient pas de substitutions {autre que i) semblables à celles de K, on a g ^^ multiple de hk.
En effet, appelons S les substitutions de H, T celles de K et U celles de G, il existe hk substitutions de G de la forme
SaUiTp, toutes différentes, car si Ton avait
on en déduirait
ce qui est absurde, puisque T^Tp' et Sa' S^, ne peuvent être toutes deux égales à i et ne sont pas semblables.
Soit alors U2 une substitution non comprise parmi les hk
substilutions considérées; G contiendra encore hk substitutions distinctes de la forme
SaUoTp,
distinctes des précédentes; car, si l'on avait
SaUiTp = Sa,U2Tp^,
U, se trouverait parmi les substitutions déjà considérées. Si l'on continue de cette manière, on épuise toutes les substitutions de G à savoir hk substitutions dans chaque série, et il faut que hk divise g.
168. Tout groupe G dont l'ordre est divisible par un nombre premier p contient une substitution d'ordre p.
Supposons que le groupe G soit formé avec A: lettres et que son ordre soit égal à g, ce groupe et le groupe T considéré § 166, supposé d'ordre /??, sont contenus dans le groupe général d'ordre A'!. Si G ne contenait pas de substitution d'ordre/?, il ne contiendrait pas de substitution semblable à celles de T; car r ne contient que des substitutions dont l'ordre est une puissance de p (159), et il y a toujours des puissances des substitutions semblables à celles-ci dont l'ordre estp; k\ devrait donc être divisible par gp^ (167), ce qui est impossible si g est divisible par le facteur premier p, puisque p^ est la puissance la plus élevée de/» contenue dans A!. G doit donc contenir au moins une substitution d'ordre p.
Groupes transitifs et intransitifs.
169. Un groupe est dit transitif, si au moyen de ses substilutions on peut amener une quelconque des lettres à la place occupée par chacune des autres; il est intransitif dans le cas contraire.
Quand un groupe est intransitif, une lettre a, peut remplacer «2, «3, •••; ap, mais non bi, b.,, ..., b^, alors une lettre a ne peut remplacer une lettre b ; sans quoi, en combinant deux substitutions du groupe a, on pourrait faire occuper à a, la place d'une lettre b.
Ainsi, dans un groupe intransitif, on pourra distribuer les lettres en deux ou plusieurs systèmes tels que dans un même système les lettres ne puissent que s'échanger entre elles, et non avec celles des autres systèmes; toute substitution du groupe se décomposera en cycles qui ne contiennent que des lettres d'un même système.
Naturellement, il faut dire quelles sont les lettres en question. Ainsi le groupe général de n — i lettres est transitif si l'on n'a à considérer que les n — i lettres de ce groupe; il devient intransitif par rapport à un système contenant, outre ces n — I lettres, d'autres lettres que le groupe considéré ne déplace pas.
Un groupe est m fois transitif s'il est possible de faire passer, au moyen de ses substitutions, à la fois m lettres données à la place de m autres lettres arbitraires distinctes ou non des premières.
On voit facilement que, si l'on peut remplacer m lettres quelconques par m lettres données, on peut également remplacer m lettres quelconques par m lettres quelconques.
Le groupe général de n lettres est n — i fois transitif, le groupe alterné « — 2 fois. Si un groupe de n lettres contient une substitution circulaire de n lettres, il est au moins une fois transitif; s'il contient en outre une substitution circulaire de n — I lettres, il est deux fois transitif, etc.
170. Si Von considère des lettres déterminées a, b, c, . . . d'un groupe G {transitif ou intransitif) et si le groupe H qui ne déplace pas ces lettres est d'ordre k, G est d'ordre kp, p désignant le nombre des systèmes de places que prendront a, b, c, ... par les substitutions de G.
Soient, en effet,
I, Ti. To, ...., T/.i
les substitutions de H, et R une des autres substitutions; les
substitutions
R, TiR, T.R; .... T/,-iR
transportent toutes les \eitres a, b,c, . . . aux mêmes places, et cette propriété n'appartient qu'à ces substitutions, car, si une autre substitution R, possédait cette propriété, RiR-' laisserait les lettres invariables et appartiendrait au groupe des substitutions T. R, se trouverait alors donc dans la suite TR. Les substitutions de G peuvent donc se partager en p séries de k substilutions.
Si G est m fois transitif, si l'on considère m lettres ff, b, c, . . . , le nombre total des lettres étant n, on aura
p = n{n — i). . .{il — m + i),
d'où l'on voit que V ordre d'un groupe m fois transitif de n lettres est divisible par n{n — i) . . . {n — /?i + i).
Si G est intransitif et si l'on considère a lettres, échangeables entre elles, les substitutions qui n'échangent pas ces a lettres forment un groupe; soit A son ordre; le nombre des systèmes de places auxquelles on peut amener ces lettres est un diviseur de a!; l'ordre de G est donc un diviseur de kyl; si l'on raisonne de la même façon sur les n — a lettres restantes et ainsi de suite, on voit que l'ordre de G est un diviseur de a! i3! y! . . ., où a, [3, y, ... satisfont à la relation
et désignent le nombre de lettres des systèmes dont les lettres peuvent être échangées.
171. Si un groupe est m fois transitif, et s'il contient une substitution qui ne déplace pas plus de m lettres, il est le groupe général ou le groupe alterné.
Soit S une substitution qui déplace au plus m lettres; soit S, une substitution quelconque semblable à S; le groupe doit contenir une substitution qui change les lettres de S dans les lettres correspondantes de Si (169); si l'on transforme S par cette substitution, on obtient Si; cette substitution entrera donc aussi dans le groupe. Soit
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. aSg
un cycle de S. Pour Si on peut prendre une substitution contenant le cycle
les autres cycles de S et Si étant les mêmes, à l'ordre des lettres près qui sera renversé. G renferme aussi la substitution
SiS = ((71^/3 riTi),
et par suite toutes les substitutions circulaires du troisième ordre; G contient donc le groupe alterné ( 164).
Cette démonstration suppose que S contient un cycle de trois lettres au moins. Dans le cas contraire on peut prendre pour les deux cycles de S et Si
(«irt.) et (a2«3),
«3 étant une lettre qui n'entre pas dans S; alors
SSi = («l«2«3).
172. Quand un groupe m fois transitif contient une substitution qui ne déplace pas plus de 2 tu — 4 lettres, il est le groupe alterné ou le groupe général.
Soit, en effet,
S = (abc...)(def...)(g...)
une des substitutions qui déplace q lettres, et supposons ni<.q <i2in — 3. Le groupe contient une substitution T qui ne déplace pas m — i de ces lettres a, b, c, . . ., d, e, et qui remplace les autres par a, |3, y, . . ., dont l'une au moins, a, qui remplace /, n'existe pas parmi les q lettres considérées. Le groupe contient alors la substitution
U = TST-i = (abc ... I {deoi ...) (p ...)... ,
et la substitution S-'U, qui ne contient que les lettres e, a, (3, f, g, . . ., et qui ne peut être i, puisqu'elle déplace au moins oc; le nombre de ses lettres est au plus
■A(q — m -h i ) ^ i = iq — 2/n -h 0 <. q ;
de cette manière, à l'aide de la substitution donnée, on peut
en trouver une autre déplaçant moins de lettres et, en continuant ainsi, on finit par en trouver une qui déplace au plus m lettres, ce qui démontre le théorème.
Le nombre minimum des lettres déplacées par une substitution d'un groupe est ce que l'on appelle Xdi classe ùu groupe.
173. U ordre d'un groupe de n lettres, m fois transitif, qui ne contient pas le groupe alterné, est un diviseur de
a désignant le plus grand des nombres m et i m — 4.
En effet, si l'on forme le groupe général de a. lettres, il ne contient pas de substitution semblable à une substitution du groupe donné déplaçant plus de a lettres; si l'ordre du groupe donné est g, gai sera un diviseur de n\ (167).
174. Un groupe de degré n, qui ne contient pas le groupe alterné, ne peut pas être plus de q fois transitif, q désignant le plus petit des nombres
Si le groupe est q fois transitif, son ordre (170) est un multiple de
ce nombre doit (173) être un diviseur de — j , ou {n — q)l doit être divisible par a!; on doit donc avoir
n — q'^a, q'^n — a, où a est le plus grand des nombres q, iq — 4; il en résulte
7^- et -71-3—
M. Jordan a fait voir qu'un groupe de degré /> + a ne peut
être plus de a fois transitif, si p est premier et si a > 2 {Bulletin de la Soc. math, de France, t. I).
175. Si un groupe Cj, n fois transitif, contient un groupe H, permutable avec toutes les substitutions de G, H est au moins n I fois transitif. {Ce théorème est soumis à une exception.)
Le théorème est vrai pour n = 2, car, si l'on désigne par S = (a6 ...)(...)•• • une suhstitution de H, G contiendra une substitution T qui remplace a, b par deux lettres arbitraires. H contiendra alors ÏSÏ-', qui remplace une lettre arbitraire par une lettre arbitraire.
A l'aide de G et de H, formons deux nouveaux groupes G,, H,, en laissant de côté les substitutions qui contiennent une lettre déterminée, a par exemple; Hi est contenu dans Gj, il est permutable avec toutes les substitutions de G,. Comme G est n fois transitif, Gi l'est n — i fois.
H est une fois de plus transitif que H„ car, au moyen des substitutions qui ont été écartées, on peut placer a oii l'on veut; le théorème énoncé a donc lieu pour G et H; s'il a lieu pour G, et H,, et comme il a été démontré pour le cas où n = i,\\ est général, pourvu toutefois que l'un des groupes Hi ne se compose pas de la seule substitution identique i.
Il y a donc lieu de considérera part le cas où Hi=r(i); dans ce cas, toutes les substitutions de H (à part la substitution i) contiennent toutes les lettres qui entrent dans G, sans quoi on pourrait prendre pour a une des lettres qui font défaut; une seule substitution de H peut remplacer a par b. Soient, en effet, T et U deux substitutions différentes; remplaçant a par 6, ÏU-' est différent de i et ne peut contenir a; d'un autre côté, a s'échange avec toutes les autres lettres, le nombre des substitutions est alors égal à celui des lettres; il en résulte que H est une fois transitif (170).
Si G est deux fois transitif, le théorème est vrai; on n'a donc à considérer que le seul cas n > 2. Si H contenait une
substitution
S = {ahc. ..){...),
il coiiliendrait une autre substitution remplaçant a par b
Si= {abd ...)(...).
car si G est plus de deux fois transitif, il existe une substitution qui transforme S en Sj. On voit donc que les cycles de H ne contiennent que deux lettres, et l'on en conclut facilement que l'on ne peut avoir que n := 3.
Puisque les substitutions de H sont du second ordre, l'ordre de H est une puissance de 2. Les substitutions de H sont écnangeables, car si S et T sont deux de ces substitutions, on a
(ST)(ST) = i, d'où ST = TS.
Le groupe
I, {ab){cd), (ac){bd), (ad){bc),
contenu dans le groupe général du quatrième ordre, est un exemple.
Sur les groupes transitifs qui contiennent d'autres groupes également transitifs.
176. Soit G un groupe transitif de degré sujjérieur à p qui contient un groupe jh fois transitif, A,'permutant les lettres «i, «2, • • -, «p. Les substitutions de G, qui ne permutent que ces lettres, forment un groupe qui contient A et qui est au moins m fois transitif, nous supposerons que ce groupe soit A.
Soient b^, b., ... les autres lettres permutées par G; supposons que G contienne un groupe renfermant A et permutant les lettres «i, a.,, . . ., a^, b^. Ce groupe doit contenir des substitutions qui remplacent b^ par un a et, par suite, des substitutions remplaçant 6, par un a quelconque. Une pareille substitution permet de mettre b^ à une place quelconque; au moyen des substitutions A, on peut mettre m des lettres a à des places quelconques; le groupe est donc au moins m + i fois transitif.
Ce groupe peut lui-même être contenu dans un autre groupe contenu dans G, lequel déplace les lettres Oi, a^, ..., ap, b^, b^
el est au moins m + 2 fois Iransilif. En continuant ainsi, deux cas pourront se présenter :
1° Après avoir ajouté q lettres une à une, nous parvenons au groupe G au moins m + q fois transitif;
2° Nous arrivons à un groupe que nous ne pouvons plus généraliser de cette manière, parce qu'il n'existe plus de sousgroupe contenant une lettre de plus; nous désignerons maintenant par A ce groupe m fois transitif, permutant les 7? lettres rti, «2, . . ., Gp. G contient au moins deux lettres b, et de telle sorte qu'aucune de ses substitutions ne contienne pas seulement une seule lettre b; car s'il contenait une semblable substitution, il existerait un sous- groupe échangeant seulement les a et un b, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Considérons maintenant, parmi les substitutions qui échangent un a avec un b, sans changer tous les a avec des b, une substitution dans laquelle les b sont en nombre minimum; soit T celle substitution, supposons qu'elle remplace a^ par bi, ai ne remplaçant pas lui-même un b; nous supposerons qu'elle remplace un b par un autre b, qu'elle remplace, par exemple, b,. par b^; on aura
V^i Or a,. ... J
Dans le groupe A, il entre une substitution S qui échange «1 en a,.; si on la transforme parT, on obtient une substitution qui remplace 61 par un a, dans laquelle bg n'entre pas et qui, en outre, ne contient pas d'autres b que ceux qui entrent dans T. La substitution inverse remplace un a par un b et ne contient pas bs. Or cela est contraire à notre hypothèse. On a donc le théorème suivant :
Une substitution qui remplace un a par un b et qui contient le minimum de lettres b doit remplacer chaque a par un b, ou ne doit remplacer aucun b par un autre b.
Dans le premier cas, le nombre des lettres b doit être au moins égal au nombre des lettres a.
Dans le second cas, on a
Nous supposerons maintenant A au moins deux fois transitif. Si nous supposons que chaque a n'est pas remplacé par un b, a,, par exemple sera remplacé par «^, où /• pourra être égal à s. A contient une substitution qui ne déplace pas a^ et qui remplace a,, par a^. Si on la transforme par T, on obtient une substitution qui ne contient pas 61 et qui remplace Us par 6,; or cela est impossible, T doit donc remplacer tout a par un b. Donc :
Si A est deux fois transitif, une substitution T, qui remplace un a par un b, doit remplacer chaque a par un b.
Nous désignerons par b^, b.., . . ., bp les b qui, dans T, remplacent les a ; s'il y a plus de p lettres b, nous les désignerons par c. En transformant A par T, on obtient un groupe B des lettres 6, m fois transitif.
11 existe une substitution qui remplace «1 parci; elle remplace, comme on l'a vu, tous les a par des b ou des c; si parmi les lettres substituées aux a il se trouve des b, transformons cette substitution par T^', nous obtiendrons une substitution qui remplacera les a en partie par des a, en partie par desc; or cela est impossible; donc toute substitution remplaçant un a par un c doit remplacer chaque a par un c, il y a donc au moins p lettres c; on prouve aisément, comme plus haut, qu'une substitution qui remplace un b par un c remplace chaque b par un c.
Si l'on continue ainsi, on voit que les lettres de G peuvent être réparties en systèmes de p lettres a, b, c, . . ., avec les indices i, 2, 3, , . .,/j; les substitutions du groupe échangent, soit les lettres d'un même système, soit toutes les lettres d'un système avec toutes les lettres d'un autre système.
Les groupes qui jouissent de cette propriété sont dits imprimitifs. Les autres groupes sont dits primitifs. Les groupes imprimitifs sont une seule fois transitifs, car ils ne peuvent, par exemple, remplacer à la fois «1 par a, et a^ par b^.
177. On a supposé le groupe A au moins deux fois transitif; s'il était seulement une fois transitif, la substitution T, qui contient le plus petit nombre de lettres b peut échanger les lettres a en partie par des lettres a, en partie par des lettres b.
Nous désignerons les a, qui sont remplacés par des b, par «1, a,, . . .; les autres seront désignés par a. On a alors 'bi b-2 ... a, . . . \
\rtl «2
011 «2 pourra être un a.
A contient une substitution Si qui remplace «, par a..; supposons qu'elle remplace un a par un a; transformons cette substitution par T, on obtient une substitution dont l'inverse remplace un a par un b et 63 par ô,; or c'est impossible : donc toute substitution de A, qui remplace un a par un a, remplace tout a par un a; nous pouvons continuer ce raisonnement comme plus haut et montrer que A est imprimitif. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Un groupe transitif de p-]-q lettres, qui contient un groupe de p lettres qui est m fois transitif, et qui ne contient pas de groupe imprimitif de p lettres, est imprimitif ou au moins m -\- q fois transitif.
Deux cas particuliers sont à remarquer.
JJn groupe transitif du degré n qui contient une substitution circulaire d'ordre p, p désignant un nombre premier > - «, est au moins {n — p -r- 1) transitif.
La substitution circulaire et ses puissances forment un •groupe d'ordre/» qui ne peut être imprimitif, et ni/>, ni aucun nombre plus grand que p et plus petit que n ne peut diviser n, de sorte que le groupe considéré ne peut être imprimitif.
Un groupe transitif qui contient un sous-groupe alterné est imprimitif ou contient le groupe alterné formé avec toutes les lettres.
266 QUATUlfcME PARTIE. — CHAPITRE II.
Car un groupe de degré n ne peut être au moins n~ i fois transitif que dans le cas où il est le groupe alterné ou le groupe général.
178. Ordre des groupes imprùnilifs. — Dans un groupe G imprimilif d'ordre mp les substitutions des lettres «i, a.^, . . ., «/>; by, b.^, . . ., b,,; c^, C.2, . . ., Cp-, . . . ne peuvent remplacer que des lettres d'un même système par des lettres d'un même système. Soient Tj et Tj deux substitutions qui permutent les lettres de la même manière, abstraction faite des indices, et Si, Sa, ... les substitutions qui n'opèrent que sur les indices. La substitution T^Tj^ appartient alors à la série des substitutions S; dans la suite
Ti, S,T,, S2T1, ...
se trouvent toutes les substitutions de G qui, sans avoir égard aux indices, échangent les mêmes lettres de la même façon.
Soit
Ui = {abc. . .) {de. . . )
une substitution dont les lettres sont échangées de la même façon.
A l'aide d'une autre substitution de G, qui n'appartient ni à la série S, ni à la série Sïi, formons la série
T,, SiT,, S2T2. ...,
caractérisée par la substitution U., et ainsi de suite.
Les substitutions U forment un groupe, car si TaTp entre dans la suite qui commence par Ty, on a
UaUp = Uy.
L'ordre de G est donc un diviseur de
car G est contenu dans le groupe imprimitif pour lequel le groupe U est le groupe général d'ordre m\ et S,, S2, ... et leurs produits sont donnés par les groupes généraux que l'on peut former avec les m systèmes de lettres.
Un groupe H est isomorphe avec un groupe K, quand à chaque substitution de K correspond une substitution de H et à chaque substitution de H une ou plusieurs substitutions de K, le produit de deux substitutions de K correspondant au produit des substitutions correspondantes de H.
De cette définition et de ce qui précède, il résulte que le groupe U est isomorphe avec G.
Exemple. — Si l'on prend
on peut former le grouiie du quatrième degré et du huitième
ordre
1, (oiao), {fnbi). {aia.2){ùilj2),
(ciibiaibi), (aibi){o.,h.), {aj>i){a.bi), {.nJ)iaJ)i)\ ce groupe est imprimitif et isomorphe avec i, [ah).
Groupe d'une fonction et nombre des valeurs qu'elle peut acquérir.
179. Les substitutions que Von peut faire subir aux lettres dont dépend une fonction, sans altérer la valeur de cette fonction, forment un groupe.
En effet, si une fonction reste inaltérée quand on opère avec la substitution S ou avec la substitution T, il est clair qu'elle ne changera pas non plus quand on effectuera la substitution ST; celle-ci fait donc partie des substitutions qui n'altèrent pas la fonction, qui par suite forment un groupe. Ce groupe s'appelle le groupe de la fonction et l'on dit que la fonction admet les substitutions du groupe. Si la fonction par exemple est symétrique, son groupe sera le groupe général; si elle est alternée, son groupe sera le groupe alterné. Le groupe du huitième ordre et du quatrième degré considéré (178) appartient aux fonctions («i est remplacé par x^, etc., . . .)
(jCi-}-X2) (^3-1- ^i), XiX-i^XiXi,, {xi—X'i^Xz — x^y, ....
Soit maintenant g l'ordre d'un groupe d'une fonction, qui se
compose des substitutions
Le groupe général, si le nombre des lettres est n, pourra être représenté par les — séries de substitutions
et comme les substitutions S ne changent pas la fonction considérée, toutes les substitutions de la série feront acquérir à la fonction la même valeur que T^.
On oJ)Lient donc le nombre des valeurs distinctes que peut acquérir une fonction de n lettres en divisant ni par l'ordre du groupe de la fonction.
Exemple. — Les trois valeurs
pourront se déduire de la première au moyen des substitutions
Le groupe de la fonction se compose de huit substitutions; si on les multiplie par les trois précédentes, on obtient les vingt-quatre substitutions du groupe général. La somme et le produit des trois fonctions considérées ne sont altérés par aucune des vingt-quatre substitutions en question, elles sont symétriques.
180. On peut toujours former une fonction admettant un groupe donné; on peut, par exemple, former une fonction/ dont toutes les valeurs sont distinctes;
J =.aiJ"i-4-a2"K--2 — • • .
oi^i a,, a,, ... sont des nombres différents, est dans ce cas; si l'on désigne par/i, /o, ... les valeurs que prend/ parles substitutions du groupe donné
- = (^— ri)(2-j2)..-,
OÙ a est indéterminé, est inaltérée par les substitutions du groupe et variable pour toute autre substitution.
181. Si le groupe de la fonction y^ est G et si la substitution T transforme jo ^'^ J'i> le groupe transformé de G par T appartiendra à y.
Soit, en effet, S une substitution de G. S ne cliange pasjo; TST-^ ne changera pas/,; car on a
Tjo=„Vi ou T-iji =jo; ainsi
TST-h-, = TSjo = Tjo=Ji.
Lorsque G est permutable avec T, le groupe transformé coïncide avec G, de sorte que le groupe appartient aussi àji- On voit ainsi que si le groupe G appartient à y„, il appartient aussi auœ fonctions transformées de jo />«/" ^^^ substitutions permutables avec G.
Indice d'un groupe.
182. On appelle indice d'un groupe, le quotient obtenu en divisant l'ordre du groupe général par l'ordre de ce groupe.
Considérons une fonction qui ne soit pas altérée par toutes les substitutions d'un groupe, mais qui soit altérée par toutes les autres, le nombre des valeurs distinctes de cette fonction, d'après ce que l'on a vu (179), sera égal à l'indice du groupe. L'indice du groupe général est i, celui du groupe alterné est 2.
On a vu (170) que l'ordre d'un groupe intransitif de n lettres était un diviseur de a ! [3 !.. . où a + (3 + ... ^: /i. L'indice de ce groupe est alors un multiple de
L'ordre d'un groupe imprimitif est (178) un diviseur de
quand le groupe contient m systèmes de /) lettres. La plus petite valeur que puisse prendre l'indice i est donc
mp(inp — i)...(m-i-i) ~ î.i. . .p.-i.3. . .p. . .i.i.p'
le numérateur et le dénominateur contenant le même nombre de facteurs. Pour « = 4, on obtient le groupe de l'exemple 178 dont l'indice est 3. Pour n = 6, le plus petit indice est 10, pour n=zS il est 35 et il croît rapidement. On peut prouver que cet indice pour n > 4 est supérieur à n, bien que ce fait soit presque évident.
183. Nous allons encore considérer un groupe primitif qui ne contient pas de groupe alterné. Soient /?,, /?2, •• • des nombres premiers distincts dont la somme ne soit supérieure au nombre n des lettres; avec/?i lettres formons une substitution circulaire non contenue dans le groupe; les substitutions circulaires de /?, des lettres restantes ne pourront pas toutes entrer dans le groupe; prenons une de celles qui n'y entrent pas et continuons de cette façon autant que possible; soit T la substitution d'ordre P1P2 ■ • ■ obtenue en faisant le produit de ces substitutions circulaires.
Le groupe ne peut contenir ni T ni ses puissances, car parmi les puissances d'une telle substitution se trouve au moins une des substitutions circulaires qui n'entrent pas dans le groupe.
Soient alors r, S,, S,, ... les substitutions du groupe considéré, ^leur nombre; formons toutes les substitutions telles queT'^Sp; elles sont toutes diiïérentes et leur nombre est IPiP-2 • • ' ce nombre est au plus égal k ni; donc
7 = ; i = ^piP',. . .
II en résulte que Vindice du groupe ne peut être inférieur au produit des nombres premiers dont la somme ne dépasse pas n.
iSk. Supposons que les nombres premiers employés soient Pi, Pi, . . ., prj,; alors
mais po désignant un nouveau nombre premier quelconque
Pi-^ Pi + ■ ■ ■— Pa-^ P^> >t, le nombre
/^a désignant le plus grand de ces nombres premiers ou celui qui en approche le plus n'est pas divisible par un des nombres /?,, />2, ■ ■ ■, Pa] c'est donc un nombre premier ou un produit de nombres premiers différents de ceux-ci : /j»o peut donc être pris inférieur ou égal à ce produit; alors
Pl + P-2-^---^ POL-I -^PlPi- ■■ POL-I > "
i^PiPi ■ • • P'x-iP'x > -Pa"-
De celte manière, on voit qu'il n'existe qu'un seul groupe d'indice plus grand que 2 et moindre que n, à savoir pour ti = 4. Parmi les groupes de n lettres dont l'indice est n se trouve le groupe général de n — i lettres. Ce groupe appartient aux fonctions de n lettres symétriques par rapport à n — I d'entre elles. Si l'on prend pour les nombres premiers /?,, p,, . . ., les nombres 2, 3, 5, . . ., on voit qu'un groupe d'indice n n'est possible que pour
//<io(=2-f-3-i-5); et comme
il reste à considérer les cas où « = 4 et n =6 . On voit facilement que, pour « = 4, il n'y a pas de groupe transitif d'indice 4; pour «^ 6, il y a un groupe d'indice 6 trois fois transitif appartenant aux fonctions de six lettres possédant six valeurs sans être symétriques par rapporta cinq d'entre elles; on obtient une pareille fonction en multipliant entre elles les expressions
ab -H cd -h ef, ac -H be -^ fd, ad -t- bf-+- ce, ae -\- bd -h fc, af-h bc -\- éd.
272 QUATRIÈMK PARTIE. — CHAPITliE II.
// eut donc impossible de trouver une fonction de n lettres possédant plus de deux et moins de n valeurs, excepté si n ^ [\. Il est impossible de trouver une fonction de n lettres ayant n i^aleurs, si elle n'est pas symétrique par rapport à n — I lettres, excepté pour n ■=-. 6.
Des substitutions linéaires.
185. Considérons une substitution formée avec les lettres «0, «1, ..., a„i; si, dans une transformation d'indices, l'un d'eux devenait supérieur à n — i, il faudrait sous-enlendre qu'il doit être remplacé par le reste de sa division par n; OL, n -V- a, in-\- a, . . . seront donc considérés comme représentant le môme indice. Représentons par le symbole
la substitution qui remplace la lettre qui porte l'indice z en général par une autre portant l'indice F(c). La fonction F(-) devra être telle que, pour >■: = o, 1,2, ...,« — i, elle prenne à l'ordre près ces mêmes valeurs.
Nous considérerons en particulier les substitutions linéaires
F (z) = a:^ -\- b remplira la condition dont nous venons de parler, si b désigne un nombre entier quelconque et si a est un nombre premier avec n, car on obtient des restes tous différents en divisant az-^ b par n et en attribuant à z les valeurs 0, I, 2, . . ., « — I.
Les substitutions circulaires sont un cas particulier des substitutions linéaires; par exemple, si
-(=:■> -cr> -cr> •■■'
Le nombre des substitutions linéaires de n lettres est no{n), 9(/0 désignant le nombre des entiers premiers avec n et inférieurs à n; a peut, en effet, recevoir 9(«) valeurs et b peut en recevoir n. Les substitutions linéaires forment un groupe, car
'cz-^d\ f az -{- h\ / ac z -\- ad -\- b'
Ce groupe est celui qui a été considéré (162), car si l'on transforme
(ao«i«2 • ••) par
on obtient une substitution dans laquelle la série des indices est
b, a-h b, -ia-^ b, . . .,
la substitution considérée est donc transformée en sa puissance a.
D'après ce qui précède, on voit que toutes les substitutions du groupe linéaire peuvent s'obtenir en combinant par multiplication deux substitutions
où a est racine primitive de j;?''^' = i.
186. Si n est égal à un nombre premier p, l'ordre du groupe linéaire est p{p — i), et il n'y a pas d'autre groupe de p lettres qui soit du même ordre.
En vertu du théorème de Cauchy (168), un groupe d'ordre p{p — i) doit contenir une substitution circulaire d'ordre p;
soient
les puissances successives de cette substitution et ï une autre substitution du groupe; toutes les substitutions delà forme
ne peuvent être différentes, car leur nombre est jf-; on doit donc avoir, pour des valeurs convenables des exposants,
OU
d'où l'on tire, en élevant les deux membres à une puissance convenable,
TST-> = S'".
T transforme donc les substitutions S en leurs puissances, et ces substitutions forment, comme on l'a vu, le groupe linéaire.
187. La notion de substitution linéaire est susceptible d'extension, et l'on peut concevoir des fonctions linéaires fractionnaires en posant
az -h h
ciiz- -h bi
Lorsque F(5) = q, il faut supposer que q est donné par l'équation indéterminée
az ^ b = q{aiz — bi)->v- py
(on suppose n égal à un nombre premier p). Si une valeur de 5 rend le dénominateur «i^ -+- b^ multiple de/», on a ^=cc, une lettre devra alors porter l'indice oo, et on a les ^ -h i lettres
«u, Ci, .... «/^-i, a^.
La lettre qui porte l'indice ce sera remplacée par celle qui porte l'indice a donné par la formule
PX
Ces substitutions forment un groupe d'ordre {p — i)p{p + i). Nous n'en dirons pas davantage sur ce sujet.
On a étendu ces notions en considérant des lettres avec
plusieurs indices, par exemple x et j. Ainsi le symbole
, ax -^ Of \
bj, aix-i-bij J
représente une substitution qui remplace .v et/ parax -\- by^ a^x + b^y; comme plus haut, les indices doivent être censés remplacés par le reste de leur division par un nombre donné. Ces considérations trouvent leur application quand le nombre des lettres est la puissance d'un nombre premier. Quand le nombre donné (module) est yo, a^y^ représente un ensemble de p^ lettres.
Ordinairement, on appelle groupe linéaire le groupe général d'ordre no{n) dont nous avons parlé; mais on comprend aussi sous cette dénomination d'autres groupes contenus dans ce groupe et transitifs ; leurs ordres sont de la forme an, Cf. désignant un diviseur de 9(/0'
CHAFITRE III.
Groupe d'une équation.
188. Une équalion irréductible peut devenir réductible si l'on suppose certaines irrationnelles données et pouvant entrer dans les coefficients. Ainsi, par exemple, l'équation
est irréductible, mais elle devient réductible si l'on se permet d'employer l'irrationnelle v^S; elle se réduit alors aux équations
X — 2 -H V' ^ = o et X — 2 — y/j = o ;
quand on se permet ainsi d'employer dans les calculs certaines expressions, on dit que ces expressions sont adjointes. L'équation considérée est réductible quand on adjoint y/S;
elle reste irréductible quand on adjoint \/5, ^7, Toute
équation devient réductible en adjoignant une ou plusieurs de ses racines.
Dans la suite, nous supposerons l'adjonction de certaines irrationnelles, et ces irrationnelles pourront alors entrer, sous forme rationnelle, dans les coefficients des équations que nous aurons à considérer.
Galois a montré qu'à toute équation correspondait un certain groupe de substitutions servant à la caractériser, ou plus exactement, servant à caraciéi'iser une classe d'équations. Quand on connaît certaines propriétés des racines, on
peut les Utiliser pour découvrir le groupe de l'équation el, inversement, quand on connaît le groupe de l'équation, il en résulte certaines propriétés communes à toutes les équations de la classe à laquelle appartient ce groupe; nous allons maintenant montrer comment on parvient à la notion du groupe.
189. Nous nous donnerons l'équation réductible ou irréductible du degré n
dont nous supposerons les racines toutes inégales
Considérons une fonction des racines qui prenne des valeurs toutes distinctes quand on y permute ces racines; une pareille fonction a n 1 valeurs, qui sont racines d'une équation de degré n\ sans racines égales. Nous pouvons, par exemple, prendre cette fonction égale à
(2) ji = 3t,.r, -i- aoJTo^-- • -^ ^«•^«>
a,, C/..2, . . ., a,j étant choisis de telle sorte que toutes les valeurs de j soient distinctes.
L'équation du degré n\ qui détermine les valeurs de / peut être réductible; décomposons-la en d'autres irréductibles et désignons l'une d'elles (la résolvante) par
Supposons-la de degré m.
Soient y\, y^, . . ., /,„ ses racines. On a vu (74) que chacune de ces racines pouvait s'exprimer rationnellement en fonction de l'une d'entre elles; on a vu aussi (73) que toute racine de (i) pouvait s'exprimer rationnellement au moyen d'une quelconque des racines de (3).
On peut donc représenter les racines de (i) sous la forme
(4) ^i(ri), ^'2(71). •••, ^«(/i),
W^, W,, . . ., ^n désignant des fonctions rationnelles. Désignons par Al la permutation (4) des racines représentées par cette série; si l'on change ji en y,,, Ai se changera en une autre permutation A^- des racines a^i, x^, . . ., à savoir celle qu'on obtient au moyen de la substitution qui change /i en jk (75). On obtient ainsi m permutations des lettres Xi, Xo, . . . , x„, à savoir
qui se déduisent de Ai au moyen des substitutions
Nous allons prouver que ces substitutions forment un groupe.
On a, en effet,
0 désignant une fonction rationnelle déterminée. La série A^ ou S/,iAi pourra se mettre alors sous la forme
T,Oj„ V^eji, .... T„Oji
[en écrivant 5/i au lieu de ô(/, ) . . . ] et, en opérant avec la substitution S^-i, on obtiendra pour la série des S^-iS^-iA,
^l'iV., ^'^Oj,. .... T„0/,;
car l'effet de la substitution S^i est de remplacer l'i par y^.
Si la suite de ces racines coïncide avec une des suites A, le produit S^i S/,.i se trouvera dans la suite (6), et les substitutions de cette suite formeront un groupe.
Puisque 9{yi)=yk est une racine de l'équation irréductible (3), il faut que l'équation du degré m dont les racines sont 9{yi), 9{y^), . . ., 9(j,„) coïncide avec (3), et l'on doit avoir, par exemple,
la série précédente coïncide alors avec la série A'.
Il est donc prouvé que les m substitutions (6) forment un groupe. Ce groupe a été désigné par Galois sous le nom de groupe de l'équation; nous le désignerons par G.
Propriétés du groupe d'une équation,
190. Toute fonction rationnelle U des racines dont la valeur numérique n'est pas altérée par les substitutions du groupe G peut s'exprimer rationnellement au moyen des quantités connues.
La fonction U peut s'exprimer rationnellement au moyen d'une des racines de (3), par exemple /i, de telle sorte que l'on a
<p désignant une fonction rationnelle. Comme les substitutions de G n'altèrent pas la valeur de U et que leur effet est de permuter ji avec y 2, 73, ...,/„,» on a aussi
U = cp(j,) = ?(j3)-... = <F0;«),
et, par suite,
U - ;)-^ [ 'f (Ji ) -^ ? ( Kî ) ^ . . . -H cp {y,n )].
U s'exprime ainsi comme fonction symétrique des racines de (3) et, par suite, peut s'obtenir au moyen des quantités connues.
191. Une fonction rationnelle des racines qui peut s'' exprimer rationnellement au moyen des quantités connues reste numériquement inaltérée par les substitutions du groupe G.
Soit B la valeur donnée de la fonction; en exprimant toutes les racines qui entrent dans B au moyen de /i, on a
9(ji)=B,
cp désignant une fonction rationnelle; ji est donc une racine de
qui doit, par suite, admettre les autres racines /2>j3» • • •>//«; on a donc
28o QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
si bien que la fonction conserve la valeur B quand on effectue les substitutions de G.
Ce théorème est encore vrai et la démonstration conserve toute sa force quand B est irrationnel, pourvu que l'adjonction des irrationnelles contenues dans B n'empêche pas (3) d'être irréductible.
192. // n'y a que les substitutions du groupe G qui laissent invariables toutes les fonctions rationnelles des racines.
Considérons, en effet, la fonction
(a — Ji ) (a — j2 ). . . (a — Y,n)
où a est indéterminé; on voit facilement que celte fonction, dont la valeur est rationnelle, ne resie inaltérée que par les substitutions permutant y\, j.,, ..., y,„, c'est-à-dire parles substitutions du groupe G. Une équation ne peut donc avoir qu'un seul groupe; on doit donc trouver le même groupe quelle que soit l'équation analogue à (3) dont on fait usage. Ces équations par suite sont de même degré.
193. Si deux fonctions rationnelles des racines, cp e^ (|i sont égales, elles ne cessent pas de l'être après avoir effectué une substitution du groupe G.
Car leur différence est rationnelle; elle doit donc toujours conserver sa valeur nulle après que l'on a effectué les substitutions du groupe.
194. Le groupe G est transitif ou intransitif, suivant que l'équation est ii-réductible ou non.
Si le groupe est intransilif il échange quelques racines entre elles sans les échanger avec les autres; il ne change donc pas une fonction symétrique quelconque de ces racines; une semblable fonction peut donc s'exprimer rationnellement, et ces racines seront les racines d'une équation à coefficients rationnels; l'équation proposée est donc réductible.
D'un autre côté, si l'équalion est réductible, on doit avoir, pour des racines déterminées,
(a — .ri)(a — .r.,)...(a-.rp) = K,
OÙ a est indéterminé et K rationnel; ce produit ne conserve sa valeur que si l'on permute ensemble aci, œ.,, . . ., Xp, ou si l'on permute d'autres racines entre elles. G ne peut donc contenir que des substitutions produisant ces permutations, il est donc intransilif.
Si l'on ne garde, parmi les substitutions de G, que les cycles qui contiennent x^, x^, ..., x,,, on obtient un groupe Gi- Une fonction de ces racines, qui reste inaltérée par les permutations de G,, mais qui est altérée par toutes les autres qui permutent x^, x.y, . . ., Xp, est rationnelle, car elle n'est pas altérée par les substitutions de G. Gi est donc le groupe de l'équation qui a pour racines xi, x^, . . ., Xp.
