La résulta/ite provenant de l'élimination dey entre

y'" -+- ai/'"-i -h. . .-¥- a„i = o et

?o(/).r«-^?lO').r«-»-^...^-<f„(/),

où «1, «2» • • • ^ont rationnels et Oq, o,, ... sont des fondions rationnelles, a son groupe impriniitif, et réciproquement toute équation dont le groupe est imprimitif provient d'une semblable élimination.

Soient /i, y.^, . . ., /,„ les racines de la première équation, soient Xr^^, x^^, • • ■■, ^pn les racines de la seconde quand on y remplace/ par yp; soit Pp une fonction symétrique arbitraire de ces n racines; la fonction

A = {cc — Vi){<X — i>,)...(ct. — V,n),

où a est indéterminé, est alors une fonction symétrique de ji, j',, . . .,j',n et peut s'exprimer rationnellement. Le groupe chercbé ne peut contenir que des substitutions laissant A invariable, c'est-à-dire laissant Cj, r,, ..., (',« invariables ou

les permutant entre eux. Ces substitutions échangent ainsi les n racines du système

.rpi, .rp2, . . . . Xpri,

contre les n racines du même ou d'un autre système; le groupe est donc imprimitif.

D'un autre côté, soit G le groupe imprimitif d'une équation contenant les m systèmes de lettres

.rpi, .rp2, .... .rp,;, pour p = I, 2, . . ., ?n. Posons

^'p=(?-.^pi)(13-.rp.2:)...(?-.rp„)

et

A = fa — (•!)(« — i',). . .(a — v,n),

où OC et ;3 sont indéterminés. A reste inaltéré par les substitutions qui remplacent des lettres d'un môme système par des lettres d'un même système. A reste donc invariable par les substitutions du groupe et peut s'exprimer rationnellement. A l'aide de A on pourra trouver toutes les fonctions symétriques de p,, ('2, . . ., v,„ sous forme rationnelle; c, ayant les valeurs c,, r,, . . ., v,^, sera ainsi déterminé par une équation de degré m à coefficients rationnels; quand Cp sera connu, JCr, sera déterminé d'une manière analogue par une équation de desré n dont les coefficients seront des fonctions ration-

Réduction du groupe au moyen de quantités adjointes.

196. L'ordre de G est le degré de l'équation irréductible en r; si l'on adjoint de nouvelles quantités de manière à rendre cette équation décomposable, on obtient un nouveau groupe d'ordre moindre; comme les substitutions du nouveau groupe sont déterminées par les racines de la nouvelle équation irréductible et que ces racines se trouvent parmi les quantités /i, jo? • • •• y,>n le nouveau groupe est contenu dans l'ancien.

THÉORIE DK GALOIS. 283

197. Si l'on adjoint la valeur r, d'une certaine fonction rationnelle des racines, le groupe nouveau devient le groupe des substitutions de G qui n'altèrent pas Zi.

;, ayant été adjoint doit être regardé comme rationnel; toute substitution du nouveau groupe doit laisser inaltérée la fonction ^1 des racines; le nouveau groupe est contenu dans l'ancien : donc il ne peut contenir que des substitutions de l'ancien groupe qui n'allèrent pas ^i.

Nous allons montrer que toutes les substitutions de G qui n'altèrent pas ^i appartiennent au nouveau groupe; formons une fonction rationnelle quelconque des racines exprimable rationnellement au moyen de -i et des quantités connues, en appelant Ui cette fonction et o un symbole de fonction rationnelle

d'où (193)

l'indice a indiquant que l'on a effectué une substitution quelconque a qui se trouve parmi celles de G qui n'altèrent pas ;;i ; on a donc

en sorte que la substitution a laisse invariables toutes les fonctions qui peuvent s'exprimer rationnellement en Jj et des quantités connues, a appartient donc, en réalité, au nouveau groupe après l'adjonction de 5,.

198. Si une fonction 9 des racines et une autre fonctions restent inaltérées par les mêmes substitutions de G, cp peut s'exprimer rationnellement en fonction de t..

En effet, si l'on adjoint tî, on obtient pour l'équation un groupe réduit H. Ses substitutions laissent tt et 9 invariables, 9 peut donc s'exprimer ralionnellement au moyen de tt et des quantités connues.

Adjonction des racines d'une équation auxiliaire.

199. Soit Zi une racine d'une équation irréductible auxiliaire dont les racines sont z-i, s,, . . ., z;,; nous admettrons que l'adjonction de ^i réduise le groupe G. Alors l'équation F(/)^ose décompose en d'autres irréductibles du même degré, chacune d'elles peut servir à déterminer le nouveau groupe ; soit

l'une de ces équations ; on peut supposer que le coefficient de la plus haute puissance de/ soit l'unité, les autres étant des fonctions entières rationnelles de z^ de degré A- — i au plus.

Si l'on divise F(/) par 9 {y,z) et si l'on égale à zéro les coefficients du reste on obtient les conditions pour que F(j) soit divisible par o{y, z); ces équations de condition sont satisfaites pour z ~zi ei comme l'équalion en z est irréductible elles doivent être satisfaites pour z^=z.2, . . ., z ^ z/^., F (y) est donc divisible par 9(7, 5,), . . ., 9(7, z/,).

Le produit

(•2) ^l'O) = ?0', -1) 'fO-, =0) . . . oO;z,)

est une fonction entière de y et des quantités connues (les valeurs de z ne sont pas ici regardées comme connues); chaque facteur étant facteur de F (7), l'équation

ne saurait avoir d'autres racines que celles de F(7) = o, et doit les admettre au même degré de multiplicité; donc on a identiquement

Comme o{y, z^) = 0 est irréductible, les autres équations analogues le sont aussi, pourvu que pour chacune d'elles la valeur correspondante de z soit adjointe. Si, en effet, 9(7, z)

THÉORIE DE GALOIS. '.îSS

était divisible par 91 (y, z), pour ^ = ;, le reste de la division de 9(7, z) par 91(7, -) devrait être nul pour z = z^, il devrait encore être nul pour z:= Zi et 9(7, Zi)^=o serait réductible, ce qui est en contradiction avec ce qui précède.

Lorsque deux des équations 9 = 0 ont une racine commune, toutes leurs racines sont égales deux à deux; en effet.

(5) oCr,:;i).= o et ^(j,Z2) = o

ont toutes deux la racine 71, et si la première a, en outre, la racine 72, 72 pourra s'exprimer rationnellement en 7,, et l'on aura

9 désignant une fonction rationnelle. L'équation

a alors une racine commune avec la première équation (5) et par suite doit les admettre toutes; la fonction

est alors divisible par o{y, z) pour z=zzi et donc de même pour z = Zo, de sorte que l'équation

doit être satisfaite quand 9(7, ^o) = 0 l'est; parmi les racines de cette équation se trouve 7,, en sorte que l'on a identiquement

(9) ?[9(7i), -2] = o ou 'j{y,,z2) = o;

d'oij il résulte que 7, est racine de la seconde équation (5) : deux des équations 9 = 0 ont donc ou les mêmes racines, ou toutes leurs racines différentes.

Soit 7i une racine commune à 7 de ces équations, ces équations devront avoir les mêmes racines; g autres équations doivent avoir les mêmes racines, sans les avoir communes avec les équations du système précédent, et ainsi de suite.

En extrayant la racine r/''"^'' de (4), on a alors, identiquement,

(lo) F(j) = (p(7, 3i)cp(7, Sa) ••• ?(/, 2/0,

oi!i 9(r,Ci), ..., o{y,z,.) désigjnent des facteurs de chaque système; on a donc A =: qr.

Les racines z se partagent ainsi en r systèmes de q racines, de telle sorte que l'on obtient deux groupes réduits différents, suivant que l'on adjoint deux racines appartenant à deux systèmes diff'érents, tandis que l'on obtient le même groupe réduit pour deux racines d' un même système.

Dans le cas où le degré k de l'équation auxiliaire est un nombre premier /j, on a ^=:i. F(/) est donc un produit de p facteurs et l'on obtient l'ordre du groupe réduit en divisant l'ordre de G par />.

Si l'on adjoint une fonction des racines d'une équation, on adjoint en définitive une racine de l'équation irréductible qui détermine cette fonction. Les valeurs de cette fonction forment alors des systèmes analogues à ceux que nous venons de considérer.