Les différents groupes réduits sont semblables

Soient Hi et H, deux de ces groupes correspondant à -:, et z.^; soient ji et/.2 des racines respectives de

Les racines de la première équation peuvent être mises sous la forme

lu OiO-i), 6oO'i)- ••••

6*1, 9.2, .. . désignant des fonctions rationnelles.

On montrera, comme plus haut, que les racines de la seconde sont

j2, OiO-o. Ui^h ••••

Soit maintenant ï la substitution qui remplace ji parja»

Sa, S^ les substitutions qui remplacent jj par 9a- (71) et jo par

Qkiy'i); on a

TSa. = S:i.T;

car ces deux substitutions remplacent Vi par B^iy-i); celte formule établit la similitude de Sa- et S^; mais Sa est une substitution quelconque du groupe Hj, SJ^. une substitution du groupe H,; la substitution T transforme donc Hj en lïo. Comme j, et y^ sont des racines quelconques de (3), une substitution quelconque de G transformera un groupe H en lui-même ou en un autre groupe H.

201. Si les racines de l'équation irréductible auxiliaire peuvent être exprimées rationnellement en fonction de l'une d'elles, et si Vadjonction d'une de ces racines réduit G à II, H sera permutable avec toutes les substitutions de G.

Si toutes les racines de l'équation auxiliaire peuvent être exprimées rationnellement en fonction de l'une d'elles, en les exprimant effectivement ainsi, adjoindre une racine de l'équation auxiliaire, c'est les adjoindre toutes; les groupes H,, H2, . . . que l'on a trouvés tout à l'heure doivent coïncider; mais, puisque tous ces groupes peuvent être transformés les uns dans les autres avec les substitutions de G, H transformé par ces substitutions reste identique à lui-même : H est donc permutable avec les substitutions de G.

202. Si l'adjonction de toutes les racines dUine équation irréductible auxiliaire réduit le groupe G à H, H est permutable avec toutes les substitutions de G.

L'adjonction des racines en question revient à l'adjonction d'une fonction 9 rationnelle de ces racines, dont toutes les valeurs sont distinctes ; ces valeurs peuvent être exprimées rationnellement en fonction de l'une d'elles, et les racines de l'équation auxiliaire peuvent être exprimées rationnellement en fonction de 9, de sorte que les racines de l'équation en cp peuvent être considérées comme adjointes; notre théorème résulte donc du précédent (201 ).

288 QUATRIÈME l'AKIIE. — CHAPITRE IH.

203. Dans le cas où le groupe G d'ordre in-=zkq contient un groupe H d'ordre q, permutable avec toutes les substitutions de G, G pourra se réduire à H en adjoignant les racines d'une équation abélienne de degré k.

Soient

I, Si, S2, ..., S^i

les substitutions de H; les substitutions de G peuvent être distribuées en k séries : elles sont de la forme TaSp, où a a la même valeur dans une même série.

Soient j'i, j.,, ..., j^^ les racines de F(j')^o, qui se déduisent de ji pour les substitutions S, et soit

61= (3t— Ji)(a— J-2) ■•• (a— J7),

a désignant une indéterminée; 9^ reste inaltéré par les substitutions S, mais les autres substitutions changent sa valeur; si donc on adjoint B^, le groupe de l'équation deviendra H. Montrons maintenant que B^ peut être déterminé au moyen d'une équation abélienne. Soient ôj, Q^, ..., Ok les valeurs que l'on obtient en effectuant sur 9i les substitutions i, ï,, T., . . ., T;t i, et posons

où (3 désigne une indéterminée.

Puisque H est permutable avec les substitutions de G, aucune des fonctions 9 (181) ne sera altérée parles substitutions S. A ne peut donc être altéré par aucune substitution TjîSa; car Sa ne modifie aucune des valeurs 9, et T ne fait qu'échanger les valeurs des 9; on a, par exemple,

TpÔ3 -= TpT,0, = TySôOi = ô,,^.i ;

car TpTa fait partie du groupe G et doit avoir, à cause de cela, la forme TySg.

Puisque aucune substitution de G ne modifie A, A pourra s'exprimer rationnellement, ôj, 9,» • • • seront déterminés par une équation du degré k, et l'on voit facilement que cette équation est irréductible et abélienne, car les diverses va-

leurs de 9 peuvent s'exprimer rationnellement les unes eu fonction des autres, puisqu'elles restent invariables par les mômes substitutions de G; leur groupe est d'ordre k et se compose des substitutions qui permutent 9,, Q.^, ... de la même manière que les substitutions T.

Si k est un nombre premier, les racines de l'équation abélienne peuvent s'exprimer rationnellement au moyen d'une équation binôme; on peut donc aussi réduire G à II en adjoignant un radical et les racines de l'unité.

204-. A présent, nous pouvons faire connaître les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation puisse être résolue algébriquement. Si une équation peut être résolue algébriquement, son groupe doit pouvoir se réduire à la seule substitution i, en adjoignant successivement les radicaux qui se trouvent dans les racines et des racines de l'unité, de manière à connaître toutes les racines de l'équation en /. Le groupe devra donc se réduire à i en adjoignant successivement des racines d'équations de la forme

zP= A,

o\x p désigne un nombre premier et A une quantité connue ou déjà adjointe. Cette équation est abélienne si l'on regarde les racines de l'unité comme des quantités connues.

D'ailleurs, aux n°^ 199 et 203, on a montré que la condition nécessaire et suffisante pour que le groupe G de l'équation, d'ordre pcj, puisse être réduit par une telle adjonction, consiste en ce que ce groupe G contienne un groupe II d'ordre q, permutable avec toutes les substitutions de G. Alors H doit contenir un nouveau groupe permutable avec toutes les substitutions de H, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne au groupe i. Ainsi

La condition nécessaire et suffisante pour qu une équation puisse être résolue algébriquement est que son groupe contienne un groupe et celui-ci un nouveau groupe, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on parvienne au groupe i; et cette suite P. 19

agO QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

de groupes doit être telle que chacun d'eux soit permutable avec les substitutions du précédent, l'ordre de chacun d'eux s" obtenant en divisant l'ordre du précédent par un nombre premier.

205. Prenons, par exemple, l'équation générale du quatrième degré; son groupe est le groupe général du quatrième degré et du vingt-quatrième ordre; ce groupe contient le groupe alterné avec lequel ses substitutions sont permutables; en adjoignant une fonction altérée des racines, le groupe sera réduit au groupe alterné; c'est cette fonction que l'on trouve quand, cherchant à résoudre l'équation, on est conduit à extraire une première racine carrée.

Le groupe alterné contient un groupe du quatrième ordre où les substitutions sont permutables avec un groupe alterné; ce groupe est

I, (.r, .r,) (.r3,r4), (.rj .rs) (.r^ X4), {^x^x,^){x^x^).

Au moyen d'une extraction de racine cubique, on détermine une fonction qui reste inaltérée par ces substitutions, par exemple x^x^ -h x.^x,^; si l'on adjoint cette fonction, le groupe alterné se trouve réduit au groupe du quatrième ordre considéré, qui, au moyen de deux extractions de racines carrées, se trouve réduit au groupe i.

Le groupe général de degré n, qui est le groupe de l'équation générale de degré «, peut aussi, au moyen d'une extraction de racine carrée, être réduit au groupe alterné. Nous allons voir tout à l'heure que, pour n>4, ce groupe est simple, et alors ce groupe ne peut plus être réduit par l'adjonction d'un radical; il en résulte que les équations générales de degré supérieur à 4 ne peuvent pas être résolues algébriquement.

Voici maintenant la démonstration de la proposition que nous avons admise : Supposons que le groupe G d'ordre \n\ puisse se réduire à un autre K d'ordre k oij kp r=z\n\, p désignant un nombre premier. K ne saurait contenir toutes les substitutions circulaires du troisième ordre. On peut donc for-

mer un groupe d'ordre 3 A- (161) contenu dans G, ainsi/) =; 3; si « > 4» on peut montrer que p = 5, K ne contenant pas toutes les substitutions circulaires du cinquième ordre; mais p ne peut être à la fois 3 et 5; la réduction est donc impossible pour « >4«

En réalité, cette démonstration ne diffère pas de celle que nous avons donnée plus haut pour établir que l'équation du cinquième degré n'était pas résoluble algébriquement.

Équations abéliennes.

206. Nous avons déjà étudié les équations abéliennes. Aussi montrerons-nous brièvement comment on peut leur appliquer la théorie de Galois.

Considérons une équation abélienne irréductible de degré n, on aura

(1) .r.2=G(.x-i) ou a-,— 6(xi) = o;

le groupe de l'équation doit contenir une substitution qui remplace x^ par x^\ soit

un de ses cycles; si l'on fait subir à (i) celte substitution, on a

(2) e(xi) = x2, e(x2) = .r3, ..., e(j:,.) = '^i-

On voit alors facilement qu'une substitution du groupe qui remplace une des lettres x^, x^, . . ., x,. par une lettre qui ne fait pas partie de cet ensemble, doit les remplacer toutes par de nouvelles lettres, sans quoi l'équation aurait des racines égales; transformons une substitution entre les lettres a?,, X,, . . .,x,. par une substitution qui les échange avec d'autres, nous obtenons une substitution qui montre que /• racines différentes des précédentes sont liées par des équations analogues aux fonctions (2); s'il y a plus de /• racines, un autre

système de /• racines sera encore lié par des équ^ilions analogues, etc., elles substitutions du groupe ne pourront échanger que des racines d'un même système avec des racines d'un même système. Le groupe est donc imprimitif et l'équation peut se décomposer en équations de degré r, au moyen d'une équation auxiliaire.

207. On n'a donc à considérer que des équations dont le groupe contient une substitution circulaire de toutes les racines et où ^2= 0(^, ). Toutes les racines peuvent alors s'exprimer rationnellement en fonction de l'une d'elles, et une fonction des racines n'a que n valeurs. L'équation F(j) =:o, qui détermine le groupe, est donc au plus du degré n : elle est donc exactement de degré n, car le groupe est transitif et, par suite, son ordre est divisible par n. Ce groupe se compose d'une substitution circulaire et de ses puissances.

Soit y. une racine primitive de oc" = i , on voit facilement que A = ( a xi -+- a- x-i -h ... -h .r „ )'^

est rationnel, car cette fonction n'est pas altérée par les substitutions du groupe. Si l'on adjoint a et '\fk, le groupe sera réduit à l'unité; les autres substitutions changent, en effet, ax^-\- a.^x^-\-. . .^ x,i; les racines seront donc exprimables rationnellement en fonction de yA et des racines de l'unité. Si le degré d'une équation abélienne est un nombre premier n, son groupe doit contenir une substitution circulaire d'ordre n; l'équation sera alors résoluble algébriquement. Si n n'est pas premier, et si le groupe contient encore une substitution circulaire d'ordre «, on voit que l'on peut abaisser son groupe en adjoignant des radicaux à indices premiers; par exemple, si « = 1 5 et si S est la substitution circulaire,

I, s^ ss s», s'2

sera un groupe permutable avec les substitutions du groupe primitif, et sera le groupe réduit en adjoignant les racines d'une équation de la forme

Équations de Galois.

208. Galois a étudié les équations irréduclibles de degré premier p et dont les racines sont exprimables rationnellement en fonction de deux d'entre elles, et il a fait voir qu'elles sont résolubles algébriquement.

Toute fonction rationnelle des racines d'une pareille équation pouvant s'exprimer rationnellement en fonction de deux racines, l'ordre de son groupe est au plus /?(/? — i), et comme ce groupe est transitif, son ordre est divisible par/?.

Nous avons vu plus haut (186) que les substitutions d'un groupe de cette espèce, les racines étant x^, cc^, x^, . . ., Xj,f sont de la forme

ou de la forme

L'ordre du groupe est kp, k est égal à/> — i ou à un diviseur de /) — I, et a est une racine primitive de a'^ = i (mod/?). Maintenant, posons

où a est racine de ' = o, désignons par X,, X3, . . . , X/f,

les résultats obtenus en effectuant sur X, les substitutions T, T-, . . ., T"^'-', et posons encore

A = (Xi+[3X,+ p2X3 + ...+ p^-XA.)^

[3 désignant une racine quelconque de .3;^ — 1 = 0. A doit être rationnel, car il n'est pas altéré par les substitutions du groupe, car la substitution S n'altère pas X,, X2, . . ., X^. et la substitution T effectue des permutations circulaires entre lesX.

APPLICATIONS DE LA THÉOniE DE GALOIS. CîqS

Si l'on remplace alors (3 par ses tlilTérentes valeurs, on obtient k équations qui se ramènent au premier degré et d'où l'on peut tirer X,,X2. . . . en fonction de vA et des racines de l'unité.

Les quantités Xj, X., . . . étant connues, on en déduit ^o. r,, . . . comme on l'a vu à propos des équations abéliennes. En réalité l'équation donnée se réduit à une équation abélienne par l'adjonction d'une de ces quantités, car alors le groupe se réduit aux puissances de S. Donc :

Une équation irréductible dont le degré est un nombre premier, et dont les racines sont des fonctions rationnelles de deux d'entre elles peut se résoudre algébriquement.

Dans le cas où le groupe d'une équation irréductible de degré p ne contient que des substitutions linéaires, chaque racine peut s'exprimer en fonction rationnelle de deux d'entre elles; car si l'on adjoint deux racines, le groupe se trouve réduit à l'unité, puisque, mise à part la substitution i, les substitutions linéaires déplacent au moins /> — i racines et ne peuvent en laisser deux invariables.

209. Si une équation irréductible dont le degré est un nombre premier p est résoluble algébriquement, son groupe ne contient que des substitutions linéaires.

Si l'on adjoint tous les radicaux, pour réduire le groupe de l'équation, il se trouvera un radical d'indice p, car c'est le seul qui pourra faire disparaître le facteur p de l'ordre du groupe. Dès que l'on aura adjoint ce radical, et pas avant, l'équation sera réductible, et comme le nouveau groupe est intransitif, son ordre ne peut être divisible par/>, et réciproquement l'équation ne peut être irréductible si l'on n'a pas évincé le facteur /> de l'ordre du groupe.

L'équation donnée devient donc réductible après l'adjonction du radical d'indice />, et son groupe est devenu intransilif ou réduit à l'unité. Soit

H=(i,Ui,U,. ...)

ce groupe. Avant l'adjonction du radical, le groupe contenait toutes les substitutions de la forme

S désignant une substitution circulaire d'ordre/^ (ICI).

Les lettres se distribuent en systèmes, de telle sorte que les substitutions U n'échangent que des lettres d'un même système; H est permutable avec les puissances de S; celles-ci ne peuvent donc échanger que des lettres d'un même système avec des lettres d'un même système; comme ce n'est pas le cas pour les puissances de S, H ne peut contenir que la substitution i. La dernière adjonction doit être d'un radical d'indice p et auparavant le groupe était composé d'une substitution circulaire et de ses puissances.

Comme le groupe se trouve réduit à l'unité par la dernière adjonction, toutes les racines deviennent rationnelles, de sorte que l'équation auparavant irréductible se décompose actuellement en équations du premier degré.

210. Les adjonctions successives auraient pu réduire le groupe sans rendre /(^) = o réductible; dans le cas où des adjonctions réduisent le groupe G à H qui ne contient que des substitutions linéaires, on peut montrer que G ne contient non plus que des substitutions linéaires, et le théorème précédent en résultera, car, le dernier groupe ne contenant que des substitutions linéaires, cela aura lieu pour les autres.

Il reste donc à prouver que G ne peut contenir que des substitutions linéaires, si le groupe H, obtenu par l'adjonction des racines d'une équation binôme, ne contient luimême que des substitutions linéaires. H doit contenir la substitution circulaire S d'ordre p et ses puissances; soit T une substitution de G qui n'entre pas dans H, H est permutable avec T, et T doit par suite transformer S en une de ses puissances, car dans le groupe linéaire H il n'entre pas d'autre substitution semblable à S que les puissances de S. T est donc lui-même une substitution linéaire, car seules les substitutions linéaires transforment S en une puissance de S.

Il est donc prouvé que la condition donnée par Galois pour la résoiulDiiité d'une équation irréductible de degré premier, sous forme algébrique, est nécessaire et suffisante.

Équations dont le groupe a pour ordre une puissance d'un nombre premier.

211. Soit p"- l'ordre du groupe d'une équation irréductible y(x)=o, p désignant un nombre premier. Comme l'ordre du groupe est divisible par le degré de l'équation, ce degré doit être une puissance de/?, yw'" par exemple.

Si l'on adjoint une racine Xi de l'équation, l'équation devient réductible; chacune des équations irréductibles dans lesquelles elle se décompose a un groupe qui ne contient que des substitutions dont l'ordre est une puissance de p (19V), de sorte que ces groupes ont pour ordre une puissance de p et il €n est de même des degrés des équations correspondantes.

Puisque l'équation se trouve réduite par l'adjonction de x^ à d'autres dont les degrés sont des puissances de/? et que parmi ces équations il en est une du premier degré, il faut qu'il y en ait au moins p du premier degré; au moins p racines seront rationnellement exprimables en fonction de x^. Plus haut (206) on a fait voir que le groupe de semblables équations était imprimitif et qu'elles pouvaient être réduites au moyen d'une équation auxiliaire. Le groupe de l'équation réduite se compose de substitutions dont les cycles se trouvent dans les substitutions de G, et leur ordre comme le degré de l'équation sont des puissances de p.

En divisant le degré de l'équation proposée par celui de l'équation réduite, on a le degré de l'équation auxiliaire (195), qui par suite est aussi une puissance de p. L'ordre du groupe de l'équation auxiliaire est aussi une puissance de p, car ce groupe se réduit à l'unité en adjoignant toutes les racines de l'équation donnée. Adjoignons ces racines une à une; à chaque réduction on doit parvenir à une équation irréductible dont l'ordre du groupe et le degré doivent être une puissance de/>. On voit ainsi que l'ordre du groupe de l'équation auxiliaire

doit être une puissance de p (199). On arrive au même résultat en montrant que ce groupe est isomorphe avec G.

Les deux nouvelles équations peuvent être réduites de la même façon jusqu'à ce que l'on tombe sur des équations abéliennes de degré p. Comme le produit des degrés de ces équations est égal au degré de la proposée, les racines de celle-ci peuvent être exprimées au moyen de m équations abéliennes d'ordre p.

212. D'un autre côté, l'ordre du groupe d'une équation, qui peut être résolue à l'aide d'équations abéliennes de degré/?, peut être abaissé au moyen de divisions successives par le nombre/», jusqu'à ce qu'il se réduise à l'unité; l'ordre de ce groupe est donc une puissance de/?. Donc

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation puisse être résolue au moyen d'équations abéliennes de degré p est que V ordre de son groupe soit une puissance de p. Son degré est alors nécessairement une puissance de p également.

Ce tbéorème est une généralisation de celui qui fait connaître les conditions pour qu'une équation soit résoluble au moyen de racines carrées, et que nous avons démontré plus haut.

La démonstration qui précède montre qu'il n'y a pas d'autres groupes transitifs d'ordre />"(« >i)que des groupes imprimitifs. Cela résulte nettement de ce qu'il existe une équation qui possède un groupe donné. En effet, chaque groupe correspond à une équation; à savoir l'équation générale de même degré que le groupe quand on a adjoint une fonction des racines invariable par les substitutions du groupe et variable par tout autre substitution.

213. Supposons qu'un groupe G contienne un groupe H d'ordre /J'^, /:> désignant un nombre premier. Toutes les substitutions de G permutables avec H forment un groupe K d'ordre l^.p'^.

Supposons

les substitutions de K peuvent être rangées en séries, de la forme

Ty, TySi, ...:

dans le cas où H est celui des sous-groupes contenus dans G pour lequel a est le plus grand possible, il ne peut se trouver, parmi les substitutions TySp, une substitution dont l'ordre soit une puissance de p; s'il s'en trouvait en effet une, on pourrait à l'aide de cette substitution construire un groupe contenu dans Q, et d'ordre /?P ou (3 > a (161) ; comme l'ordre de chaque substitution S est une puissance de p, elle ne peut être semblable à une substitution ÏS.

Les substitutions de G peuvent être rangées en séries comme il suit (chaque série a ^i.p'^ termes) :

I, Si, S2, ..., T, TSi, .... U, US„ us.,, .... UT, ...,

U n'est pas permutable avec H, mais il pourrait l'être avec un groupe contenu dans H, à savoir i, Sa, Sp, . . .; les substitutions S peuvent être écrites en séries comme il suit

Sp, .

M,Sp,

M., Sa,

le nombre des substitutions M étant une puissance de p. Si l'on multiplie à gauche les termes de la série

U, USi, US2, ..., UT, ...

par l'une des substitutions Sa, S;^, . . ., on retrouve la même série à l'ordre des termes près. Au contraire, si l'on multiplie les termes de la même série par une des substitutions M, on obtient une nouvelle série, composée de termes différant à la fois entre eux et de ceux de la série primitive. On déduit ainsi de la série primitive autant de séries qu'il y a de substitutions M; le nombre de ces séries est une puissance de p.

Si G contient un plus grand nombre de substitutions, avec l'une d'elles formons de la même manière une série de substitutions dont le nombre soit une puissance de p, et continuons ainsi jusqu'à ce que nous ayons épuisé toutes les substitutions de G. Comme toutes les substitutions ainsi obtenues sont différentes, l'ordre de G est

;jL/j^(l — p^-^i — p'^-'^2 ... I.

où p"^^, p'^^-, . . . sont les ordres des groupes contenus dans H et qui sont permutables avec les substitutions U. Plusieurs des nombres a^, a,, ... peuvent être égaux; ils peuvent même être nuls, mais ils sont au plus égaux à a — i . La quantité entre parenthèses a en tout cas la forme i -h np.

214. Nous allons étudier de plus près le groupe K et montrer que jUL ne peut être divisible par/>. Puisque H est permutable avec toutes les substitutions de R, on peut, si l'on considère une équation dont le groupe est K, réduire K à H, au moyen d'une équation auxiliaire du degré (j. dont toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement à l'aide de l'une d'entre elles, et dont le groupe est d'ordre [x(203). Ce groupe doit contenir une substitution d'ordre p, si /j. est divisible par/?.

Cette substitution, par rapport aux quantités désignées (203) par 0,, 5,, .... peut être remplacée par une des substitutions T (203); la puissance p de cette substitution doit laisser Ô,, 0^, ... inaltérées. Comme cela n'a lieu que pour les substitutions S, T'' est l'une d'elles, ce qui exigerait que l'ordre de T fût une puissance de p, ce qui est contraire à notre hypothèse, /j. n'est donc pas divisible par/?.

On voit ainsi qu'un groupe d'ordre kp'^, où k n'est pas divisible par p, doit contenir un sous-groupe imprimitif d'ordre /»^ ou un groupe linéaire d'ordre /? si a = i . Le groupe d'ordre p^ est contenu dans un autre d'ordre ^j-p^ avec les substitutions duquel il est permutable, et l'on a

h — l±{np -^i).

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS. 3oi

215. Si k<.p, on a A^=p.; soit alors ij.z=ij.jp^, où/», désigne un nouveau nombre premier qui ne divise pas [j.i. Si i^i</'i> l'équation auxiliaire de degré (x pourra être réduite à une équation résoluble par radicaux, au moyen d'une équaiion de degré /Jii; si l'on peut ainsi continuer jusqu'à ce que l'on obtienne une équaiion auxiliaire dont le degré et l'ordre soient des puissances d'un nombre premier, l'équation proposée est résoluble algébriquement (Sylow, Math. Annale n, V).

Équation de Hesse.

210. Hesse a étudié une équation du neuvième degré, dans laquelle deux racines quelconques a, b sont liées à une troisième par les relations

c = tp(rt, /)), /)=o(a,c), a = o(b,c).

9 désignant une fonction symétrique et rationnelle.

On rencontre cette équation quand on cherche les 9 points d'inflexion d'une courbe du troisième degré. Au sujet de ces points on a le théorème suivant : toute droite passant par deux points d'inflexion passe par un troisième point d'inflexion. La condition pour que trois de ces points soient en ligne droite prend la forme c = cp(a, b), où a, b, c sont trois racines de l'équation du neuvième degré qui détermine les points d'inflexion. L'équation c = 9(a, b) n'est satisfaite que si les trois points a, b, c sont en ligne droite.

217. Le groupe de l'équation ne peut contenir que des substitutions qui remplacent les trois points a, b, c par trois autres en ligne droite (193).

On peut prendre deux points sur neuf de 72 manières; de cette manière chaque droite est obtenue 6 fois, et il existe 12 lignes droites distinctes passant par trois inflexions. On arrive au même résultat en observant que par chaque point passent 4 des lignes en question; leur nombre est donc 4x0:3^12.

De 3 points en ligne droite partent donc 9 lignes droites, abstraction faite de celle-ci; les 6 autres points se trouvent donc sur les deux droites restantes.

Maintenant représentons chaque point d'inflexion par deux indices; le premier de ces indices sera o, i ou 2 suivant que le point sera sur la première, la deuxième ou la troisième de ces lignes; sur les 9 lignes restantes choisissons-en 3 de la même façon et donnons au point le second indice o, i ou 2 suivant qu'il sera sur la première, la deuxième ou la troisième. De celte manière les points seront représentés par les éléments du tableau

les points représentés par les éléments d'une mèrae ligne ou d'une même colonne sont alors en ligne droite.

On ne peut ranger ces points de manière à voir les 6 autres lignes parce que 3 points d'inflexion au plus sont réels. Les deux lignes droites que l'on ne voit pas et qui passent par le point (00) sont nécessairement

les autres lignes sont déterminées d'une façon analogue, et l'on voit que si 3 points sont en ligne droite la somme de leurs premiers et de leurs seconds indices est divisible par 3.

218. Désignons ces indices par .r et y, et considérons les substitutions qui remplacent a: et j par ax -i- by -j- c et «i^-h bif -\- Cl, les nombres étant pris suivant le module 3; alors, après la substitution, 3 points en ligne droite seront remplacés par 3 autres points encore en ligne droite, car si

^1 + JTo -H .rj = Ji — J-o -H Js = O,

on a encore

axi ■+- b/i-h- c -^ax2-+- bj'^-i- c -^ ax^ -\- by-i-h- c = o.

APPLICATIONS DE LA TOÉORIE DE GALOIS. 3o3

La notation

(.r, /; ax -T- bj -\- c^ a^x -+- hij -r- c^)

représentera une substitution des 9 points, si l'on exclut les valeurs de a, b, «,, b^ pour lesquelles a^, — 6ai = o. Ces substitutions forment un groupe, car le produit de deux d'entre elles donne une substitution de même espèce, c etCi peuvent être pris égaux à o, i ou 2 ; si c et Cj ont été choisis, a et 6 ne doivent pas être à la fois nuls; si « et 6 ont été choisis, a, et 61 peuvent être choisis de 6 manières différentes; l'ordre du groupe est donc 9.8.6.

Le groupe en question remplace 3 points en ligne droite par 3 autres points en ligne droite; nous allons voir qu'il contient toutes les substitutions qui jouissent de cette propriété.

Soit T une semblable substitution qui remplace (00) par (a[3), (01) par (a, (3i), elle devra remplacer (02) par (a., (Sa), de telle sorte que

la substitution

S = (jr,7; ax^hy^a, aix-^hyf^^^) du groupe produit cet effet quand

si T remplace (10) par {y-^^-,)-, la substitution S produira cet effet si

a -H a = as, <7i -1-^ = ^3.

On voit facilement que la substitution T est maintenant bien déterminée, et cela par cette seule condition que 3 points en ligne droite sont remplacés par 3 autres en ligne droite; et comme la substitution S déterminée jouit de cette propriété, S et T sont égales.

' G contient ainsi les substitutions qui n'altèrent pas la valeur nulle de o{a, h) — c. Alors G est le groupe de l'équation ou le contient.

G contient le groupe Gj formé des substitutions

où a est égal à i ou 2, et où c et Cj peuvent recevoir leurs trois valeurs. Ce groupe du dix-huitième ordre est permutable à toutes les substitutions de G. Si l'on cherche 3 droites contenant les 9 inflexions, on voit que G, ne contient que les substitutions de G qui échangent ces lignes; comme il existe 12 lignes triples et qu'une ligne triple détermine les deux autres, il existe 4 lignes triples qui doivent se déterminer au moyen d'une équation du quatrième degré dont les racines réduisent le groupe G à G,.

On peut encore réduire le groupe G à Gi en résolvant une équation abélienne du degré 9.8.6; 18 r= 24. Cette équation n'est autre chose que la résolvante de l'équation du quatrième degré et se trouve résolue dès que celle-ci l'est. Au lieu de réduire le groupe G à G, pour la fonction des racines, on aurait pu le réduire par l'adjonction successive des radicaux qui servent à résoudre l'équation du quatrième degré.

On divise ainsi l'ordre de G par 24.

Gi contient le groupe G, du troisième ordre

qui est permutable avec les substitutions de Gi; le groupe Q, peut être réduit à G,, en adjoignant les racines d'une équation du troisième degré qui lait connaître les 3 droites d'un triple, ou en adjoignant les radicaux qui servent à résoudre cette équation.

Le groupe est alors réduit aux puissances d'une substitution régulière du troisième ordre; il est donc intransilif, et l'équation se trouve réduite à 3 équations du troisième degré; ces équations sont abéliennes, le groupe se trouvant réduit à i en adjoignant une racine arbitraire.

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS. 3o5

Groupe de monodromie d'une équation.