Soit

une équation contenant un paramètre indéterminé X ; pour plus de simplicité, nous supposerons les coefficients numériques. Si l'on suppose k connu, l'équation possède un groupe déterminé G.

Une fonction rationnelle o de k et des racines qui reste inaltérée par les substitutions de G peut être exprimée rationnellement au moyen de k et des nombres connus; elle doit donc être monodrome par rapport à k, c'est-à-dire qu'elle doit avoir une valeur déterminée pour une valeur donnée de A-, et reprendre cette même valeur quand k, après avoir varié d'une manière quelconque, repasse par sa valeur primitive. La fonction reprend après la variation de k sa valeur numérique primitive, mais sa forme algébrique peut avoir changé, la variation de k pouvant avoir amené une permutation entre les racines.

Si l'on fait varier /ren lui faisant prendre toutes les valeurs réelles ou imaginaires, on produira des substitutions entre les racines; ces substitutions forment un groupe, car si k en suivant un chemin fermé produit une substitution S et en suivant un autre chemin fermé il produit la substitution T, en suivant successivement ces deux chemins il produira la substitution TS. Ce groupe porte le nom de groupe de monodromie par rapport à k. Nous le désignerons par H.

221. Les substitutions du groupe de monodromie naltèrent pas une fonction monodrome de k. En effet, si k suit un chemin déterminé, il en résulte une substitution déterminée correspondante, et, comme la fonction est monodrome, cette substitution ne le change pas, puisque la fonction reprend la même valeur quand k revient au même point, quel que soit le chemin suivi.

3o6 QUATUIÈMK PARTIE. — CHAPITRE IV.

Réciproquement, une fonction est nionodronie quand elle n'est pas altérée par les substitutions de H. Car ces substilutioiis correspondent à tous les chemins que peut suivre k.

222. Le groupe II est contenu dans G. Toutes les substitutions de H laissent, en effet, une valeur rationnelle d'une fonction rationnelle des racines et de k inaltérée, car cette fonction est monodrome.

Mais il faut remarquer que II ne contiendra nécessairement pas toutes les substitutions de G; en effet, de ce qu'une fonction est monodrome, il n'en résulte pas qu'elle puisse s'exprimer rationnellement par des quantités connues ; elle peut, par exemple, contenir des radicaux et G ne se réduit à H qu'après l'adjonction de ces radicaux.