Le groupe H est permutable aux substitutions de G

Soit 4^ une fonction des racines invariable par les substitutions de H, mais variable par les autres substitutions. Elle sera monodrome en k et par suite exprimable rationnellement au moyen de k et de coefficients irrationnels; appelons a, by c, ... ces coefficients; la fonction ^ satisfait à une équation irréductible; on obtiendra des relations entre a, b, c, . . . en écrivant que ^p satisfait, quel que soit k, à cette équation. On peut donc former une équation telle que a, b, c, . . . s'expriment rationnellement au moyen d'une de ses racines (74), et, si l'on adjoint ses racines, G se réduira à un groupe qui ne pourra contenir d'autres substitutions que celles de H. Ce groupe sera donc H, car l'adjonction d'irrationnelles numériques ne saurait réduire ce groupe. H est donc permutable avec les substitutions de G (202).

224. Considérons, par exemple, l'équation qui fait connaître cos- au moyen de k zzz. cos^. Appelons x^, œ.2, . . ., x,^

ses racines, ou x-p=z cos — ; adjoignons cos^ et sin:;; si

z varie d'une manière continue, cos^ et sin^ reprennent les

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS. Soj

mêmes valeurs quand z croît de 2p tï, p désignant l'un des nombres G, I, 2, . . ., n — i; la racine a;,, se changeant alors en x,.+p, le groupe de monodromie de l'équation par rapport à sin^ et cos^ est le groupe linéaire de degré n

et, comme ce groupe est permutable avec les substitution; du groupe algébrique, celui-ci a la forme

il se réduit au groupe de monodromie en adjoignant cos — ' et

sin — , car on voit facilement que dans ce cas

OÙ ij; est rationnel et cette équation ne subsiste que pour les substitutions du groupe de monodromie.