SUR LES FORMES

Formes et substitutions linéaires.

1. Nous désignerons par a% la forme binaire générale d'ordre n

(i) a'j. = Uqx'I -;- - aix'l-^XQ~\ ^^ -aix'l~'^xl -4-. . .-h «„.r^',

OÙ «0) «ij • • •> «« seront ce que nous appellerons les coefficients; si l'on fait a":=o, et si l'on regarde x^ : x^ comme inconnue, on obtient l'équation générale du degré n.

2. La forme est transformée par une substitution linéaire, quand on pose

(2) -('i = aii;i + ai2?0) •■t'o = «21 ^i -t- «22 ^21 et l'on suppose le déterminant

différent de zéro; si l'on a plusieurs formes analogues a'^, b%', . . ., il sera sous-entendu qu'elles sont transformées par la même substitution.

Quand on effectue la substitution, la forme se change en une autre de même ordre, mais avec de nouveaux coefficients u'q, a\, .... qui dépendent des anciens et des coefficients de la substitution (2); on peut effectuer deux substitutions successivement: cela revient à effectuer une seule

3l2 CINQUIÈME PARTIE. — SUR LES FORMES.

substitution, mais cette troisième substitution n'est pas la même quand on change l'ordre dans lequel on effectue les deux premières; toutefois, le déterminant de la troisième est, en tout cas, le produit des déterminants des deux premières.

3. La substitution la plus générale résulte des quatre suivantes {voir il) :

x, = Ai,,

Xq — /i;o

X\= çu

.ro=/^o:

.ro = ^u,

dont les déterminants sont /.-, /, i et i. La substitution obtenue en les effectuant successivement aura pour déterminant /î^l; c'est la plus générale, parce qu'elle contient les quatre paramètres k, l, a^, a^, et l'on A^oit facilement qu'on peut les déterminer sans ambiguïté quand on se donne les coefficients de (2). Excepté pourtant lorsque ajj = o ou ao^^o; alors, en effet, ils sont infinis; comme, dans ce cas, a,, et a,i ne peuvent être nuls, nous admettrons encore une cinquième substitution simple qui échange seulement les variables; elle a pour déterminant — i et change a^ en «„^.

Symboles.

4. Nous regarderons les lettres a, b, . . . , A, B, . . . , dans ce qui va suivre, comme des s^^mboles dont les puissances seront remplacées par des indices; ainsi nous aurons

(a)"=fin, («)o = rto, (A)3 = A3,

mais n sera toujours égal à ou inférieur à l'ordre de la forme, car «„ n'a plus de sens dans le cas contraire. Nous pouvons alors écrire

si, après avoir appliqué la formule du binôme, nous écrivons,

COA'ARIANTS DES FORMES BINAIRES. 3l3

au lieu du premier terme,

j:'l ( a ,ro )" = .r'/ ( ^/ )o ( ,ro )» = «o J.-'/ •

Nous considérerons ensuite une différentiation symbolique pour laquelle nous ferons usage de la caractéristique Aj; elle €onsistera à appliquer les règles ordinaires de la difl'érentiation aux puissances symboliques. Ainsi, on posera

On voit donc que l'on n'a qu'à différentier en regardant les indices comme des exposants. Nous donnerons encore quelques exemples :

Ai(«i^('2 — '''!) = o, Ai<7i(7j =rto'^'3 -f-6a]a2«3.

Coefficients et fonctions transformés.

5. Lorsque l'on transforme la forme (i), on obtient une forme de même ordre avec de nouveaux coefficients «„, «1, . . . , et il en est de même pour toute autre forme. Soit u une fonction entière et rationnelle des variables et des coefficients d'une ou de plusieurs fonctions, homogène en o^, et Xq. Si, dans u, nous remplaçons les coefficients par ceux des formes transformées et x^, x^ par ^i, ^o respectivement, nous obtenons une nouvelle expression u' . Maintenant, dans u', remplaçons les nouveaux coefficients et les variables t\ et ^0 pai' leurs valeurs en fonction des anciens coefficients et des anciennes variables; si alors a' ne diffère de u que par un facteur dépendant seulement des coefficients de la substitution, on dira que u est un covariant de la forme, ou un covariant simultané des formes s'il intervient plusieurs formes dans l'expression de u. Les considérations qui vont suivre ont pour objet la recherche des covarianls et leur mode de dépendance. Pour obtenir des covariants, nous chercherons les conditions pour que u reste invariable quand on

3l4 CINQUIÈME PARTIE. — SUR LES FORMES.

effectue les cinq subslitulions particulières dont il a été question plus haut.