La seconde transformation donne

a[j = lla,i, h',1 = l'ihq-, \ï = ••Ci, ^u = •^ol l-

Si l'on désigne par v le degré de A dans un terme kx^^x^^, en y regardant les indices comme des exposants (c'est ce que l'on appelle \e poids de A), ce terme sera multiplié par /^-?; V — (3 doit alors avoir la même valeur pour tous les termes d'un covariant. Si l'on ordonne le covariant comme les formes, le poids de chaque coefficient devra être supérieur d'une unité au poids du coefficient précédent.

8. La cinquième substitution change a„^ en «^, x^ en Xq et vice versa; ce changement ne doit pas altérer un covariant, ou doit simplement le multiplier par — i. Soit

(5) Ao.rP-^^Ai.<-i^o-t-...+ Ap.rg

le covariant, la substitution change Aq en ± kp. Si y est le poids de Ao, A^ sera de poids v -\- p. Mais AflAp doit être de poids ^ng, car, si dans AoAp il entre

COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. 3l5

un facteur «^ ou b^, il doit aussi y entrer un facteur a^-py bn

(6) p^^ng-i^>,

ce qui montre que l'ordre d'un covarianl est déterminé quand on connaît le poids et le degré de son premier coefficient.

Si l'on effectue successivement la première et la deuxième substitution, le covariant est multiplié par li^'^s-pp-=^ {k^iy. Or k^l est le déterminant de la substitution résultant des deux premières, la troisième et la quatrième substitution ont pour déterminant i et ne changent pas le covariant, comme nous le verrons plus loin; il en résulte que :

Une substitution quelconque de déterminant D multiplie un covariant par D^, v désignant le poids du premier coefficient du covariant.

9. Nous avons vu que tous les coefficients d'un même covariant u ont le même poids ou, comme nous le disons, sont homogènes en indice et sont de même degré, c'est-à-dire homogènes dans le sens propre du mot. On aura donc, en vertu de cette dernière propriété,

du du du

(la -. r- Ot V- . . .-^ a„ ■ — (ru.

L'homogénéité en indice fournit une équation analogue. Si nous faisons, en effet.

CH^'^ln

nous aurons

'^ du

^d ^ dx^

cpi

du

"V^ du

, . du du du , du

o«i da^ da^ dbi

3l6 CINQUIÈME PARTIE. — SUR LES FORMES.