La troisième substitution est
•^1 = ^1 -+- =^1 ;o) ^'o = ^0, elle change a'^:= (.Ti— aj^^Y ^n
[;i-f-f;«-i-ai)ïo]".
Les coefficients de la forme transformée dépendent donc de ceux de la forme primitive au moyen d'une équation symbolique qui exprime que le symbole reçoit l'accroissement «j. On a alors
( 8 ) <^'p = ( « -^ s'-i y = ^h' -^ - ^'p- 1^-1-^ ^—^ ^'p—î otf — . . . — «/',
ce que l'on peut encore écrire
(9) "7^= ^'p— Ai«p-' ^ Af (7/, —!-—...,
où Aj représente AiAj.
Nous avons là une analogie frappante avec la formule de Taylor et, si nous observons que cette dernière formule peut se démontrer en s'appuyant sur ce fait qu'elle est valable pour aP et l'accroissement «i donné à a, et qu'on peut la généraliser en considérant plusieurs variables recevant des accroissements divers, on pourra l'étendre à des symboles; si nous supposons que tous ces symboles reçoivent le même accroissement «i, la formule de Taylor donnera
du du Oa~ Où ~'
et, en faisant usage de la notation différentielle symbolique,
( 10) u' = u -h ^lU— -f- Af » — - -f-. . .,
u désignant une fonction entière des coefficients d'un nombre quelconque de formes et u' la fonction transformée. Si les variables entrent aussi dans a, on a
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. Siy
et l'on trouve
(11) « = « -r- Al « — .ro -— ai ^- A, « — xo --— h . . . ,
formule dans laquelle les exposants des parenthèses doivent être considérés comme plus haut.
La formule (ii) montre que les covariants doivent satisfaire à la relation
, , ^ du
(12) Ai«~ .ro^-- = o,
d'où il résulte
Si a^o et Xj n'entrent pas dans u, on a seulement (i3) \iu = o
, , à//. du du , du
(i4) «0 1 1- 2«i "i H.. .-)- ncin-i- \-bo-j- -^. ...
Au surplus, (12) peut être considérée comme un cas particulier de (i3), si l'on y considère — a;^ et œ^ comme les coefficients d'une forme adjointe du premier degré.
11. La diflférentiation symbolique abaisse d'une unité le poids de chaque terme, sans changer les lettres; pour un covariant u, les termes de (12) qui contiennent les mêmes lettres au même degré doivent se détruire entre eux. Nous pouvons en conclure qu'un covariant est homogène par rapport aux coefficients de toutes les formes ou se décompose en plusieurs autres. Un covariant pourrait aussi se rapporter à des formes contenant des variables différentes, œ^, ^1; fo, Ji • ■ ■; il devrait alors être homogène par rapport à chaque paire de variables, et dans (12) il s'introduirait de nouveaux termes de la forme
du
3l8 CINQUIÈME PARTIE. — SUR LES FORMES.
