La quatrième substitution transforme a'^. en
[^i(i — aa2)-4-«;o]'S
alors
rt^ = ( I -f- a a2 y-PaP = cip h ap^x =«2 -r- • • •
A, désignant une opération identique avec A,, à cela près que Oq doit être remplacé par «„,/, bq par hn,-q, .... On a donc
A2a„i = <7,;, Ao*?,, — o.
La condition pour que u soit un covariant est alors
du (i5) \iu—xi -— =0,
et l'on a, en général,
, r\ ' i K àii\ a. ( du Y ^-
(iG) u — u-^ t \,u — Xi - — h A,?/ — xi -^ — -^ -f-. . .,
^ ' \ dxj I V OJOqJ 1.-2
formule qui doit être généralisée comme (u), si l'on a affaire à plusieurs paires de variables. Si les variables n'entrent pas dans u, (i5) donne
{17; AoU = o
ou
, „ du , ^ ou du , du
dcio dcii da^^i dOo
13. Nous allons maintenant montrer comment les coefficients d'un covariant dépendent de l'un d'entre eux. Soit le covariant
(19) K = Aox'i-r- ^-^ Aix^-' xo+ ^'^ ^^~'\,xf-'xl~...-^X^x^-^.~....
COVARIANTS DES FORMES BIXAIRES. Sig
Supposons que g soit le degré et v le poids de A^, de sorte que
[jl = Il g — 2 V .
Nous avons vu que A^ est de degré g et de poids v h- 7. Si nous appliquons à K la formule (12), nous trouvons
ot, comme cette quantité doit être identiquement nulle,
AiAo=o, AiAi = Ao, A, A., = 2 Ai, ..., Aj A.^ = ^yA^i.
On voit que l'opération A, a le même effet sur les coefficients d'un covariant et sur ceux de la forme. Appliquons à K la formule (i5), nous trouvons
A,Ao.r!^ + -^A,Ai.rr'.ro+'^''^~'^AoA.,x!f--^xg + ... + A,At,x^
'^A,.rï-i^l^A,rr.„
d'où l'on conclut
AjA/, = 0, AoAp-i^A/;, ...,
A2A^= ([j. — f/)A^+i, ..., A2Ao=[JlAi.
Ces formules montrent que l'opération A^ s'applique d'après les mêmes règles aux coefficients d'un covariant et aux coefficients d' une forme de même ordre que le covariant.
De ces théorèmes, il résulte qu'ww covariant est entièrement déterminé quand on connaît un quelconque de ses coefficients, car au moyen des deux opérations on peut déterminer tous les autres. En particulier nous remarquerons que Ao satisfait à l'équation AiAq^o et A^ à l'équation A2Ajx=:o. Les fonctions qui satisfont à ces deux équations
