CINQUIÈME PARTIE. — SLR LES FORMES

seront ce que nous appellerons des semi-invariants; ils seront de première espèce ou de seconde espèce, suivant qu'ils satisferont à la première ou à la seconde (').

Un covariant d'ordre nul satisfait aux deux conditions et on l'appelle un invariant; pour un semblable covariant, on a l.ng-=z-2v. Les deux espèces de semi-invariants se déduisent les uns des autres en changeant aq en a„ç, bq en b,i^-q, .... Il en résulte qu'un invariant, par un semblable changement, doit rester inaltéré ou changer seulement de signe selon que son poids est pair ou impair; car le changement se produit par la cinquième transformation.

Les covariants deviennent des invariants lorsque l'on regarde les variables comme coefficients de formes linéaires dont le premier terme est négatif.

Semi-invariants.

\k. On voit facilement que

{ai — acioy est un semi-invariant de première espèce, car

Ai(ai — r/(7o)!^= [J.(ai— aciQ)V--'^{aQ~ ciq) = o;

il se trouve représenté par a'^z=z(a:i-r- axo)^-, si l'on remplace a-i par «1 et ^o par — «o- l^ est nul identiquement pour |jL= I ; pour les autres valeurs de ^x, on a, en divisant par a^, qui est lui-même un semi-invariant,

(20) Co=«o> C2=feoOi — a'I, C3 = «^«3 — 3«o«iao — 2«f;

n est la plus grande valeur que puisse prendre ^.

A l'aide de ces n — i semi-invariants, on peut exprimer en fonction entière tous les semi-invariants de a"^, après les avoir multipliés par une puissance convenable de «y.

( ' ) Parfois, quand nous parlerons de semi-invariants, sans en désigner l'espèce, il faudra sous-entendre qu'il s'agit de semi-invariants de première espèce.

Dans Cjj., le premier terme est a^'^ a^, et a^ n'entre que dans ce terme. On peut alors éliminer d'un semi-invariant donné U, au moyen des équations (20), les quantités a,i, (7„,, «„2, . . ., «2 et l'on n'introduit ainsi que des dénominateurs puissances de Oq; on obtient ainsi

U = A-4-Bai + C«ï^...,

A, B, C, . . . désignant des fonctions entières des c divisées par des puissances de Cq. A, B, C, . . . sont ainsi eux-mêmes des semi-invariants et l'on a

AjU = B«o + 2Cao«i -T-. • -,

et cette quantité n'est identiquement nulle que quand B =C. . . =0, car les c et a peuvent être considérés comme indépendants.

On voit, de même, qu'une fonction U, telle que A^ U ^ o, peut être ramenée à la forme A + Ba,, etc.

D'une manière toute semblable on verrait que des semiinvariants simultanés, abstraction faite de multiplicateurs puissances de a^, bg, . . ., peuvent être exprimés en fonction entière et rationnelle des c et de leurs analogues ainsi que de semi-invariants de la forme a^b^ — boU^. Enfin, on aurait des théorèmes analogues pour des semi-invariants de seconde espèce en changeant a^ en a„,, etc.

15. Il est facile de trouver l'expression d'un semi-invariant donné de a% en fonction des c. Si l'on pose, en effet, «i = o, Cjx se réduit à a^^'ajj.; il suffit alors de multiplier le semiinvariant par une puissance de «o telle que son degré devienne égal à son poids (tous les c, excepté Cq, jouissent de cette propriété ), et alors de poser «, = o ; on a ainsi l'expression demandée.

Par exemple, soit

en multipliant par al et en posant a, = o, on a

d'où l'on tire

C'est ce que l'on peut voir d'une autre manière. Le semi-invariant doit rester inaltéré par la troisième substitution, et par suite quand on remplace a^ par

0(,-r- rja^^iai-

comme «i doit disparaître du résultat, on peut le remplacer

par une quantité arbitraire; nous le remplacerons par ^-^

Si nous multiplions par a'^, où v désigne le poids, «^ se change en a^Cq, et si l'on divise par a^, où g- désigne le degré, on retrouve le résultat auquel nous sommes parvenus tout à l'heure.

On aurait pu remplacer «1 par —; et en multipliant par

une puissance de rg, a^ se serait changé en a%; donc :

Un semi-invariant quelconque, multiplié par une puissance convenable de Xq, peut s'exprimer sous forme entière au moyen de «'J, a^"' , . . . .

Par exemple, on a identiquement

.rJ(<7o<Vv — 4«i'''3+ 3a|) — ciQa^ — 4«'i«l- -+- 3(«1-)-.

Ce théorème s'étend sans difficulté aux semi-invariants simultanés. On a, par exemple,

j'(,{a,^/ii — l^oUi) — UqÙ]- — l>Qf'x-