On obtient encore un groupe de semi-invariants en posant
car on a
Airfu.= iJ.{a — b)\>-~U.i-i) = o.
Si l'on pose b = a, on obtient des semi-invariants relatifs
à la forme «"., qui, pour p. impair, s'évanouissent identiquement; ainsi
Ces quantités peuvent servir, au lieu de c.2, c^, . . . , à exprimer un semi-invariant; et, par ce nouveau procédé, on introduira en dénominateur une puissance moins élevée de a^.
17. Il est facile de trouver la signification des semi-invariants c; en effet, si en appliquant la troisième substitution on pose «1 égal à ^ le second terme de la forme transformée s'évanouit et <7), se réduit à (a — ^^j qui, abstraction
faite du facteur a'^'^ , se réduit à c^,; donc :
Si l'on transforme la forme de telle sorte que son second terme s'évanouisse, on trouve
Si l'on égale cette forme à zéro, on obtient une équation dont les fonctions symétriques des racines pourront s'exprimer au moven de -^j ^," . . ., -^; ses racines dépendent des
différences des racines de l'équation non transformée; on a, en effet,
•ri = ^1 ^0, .^0 = ço et .— = s
JTy
Ainsi
ô désignant la différence entre — et une autre racine.
En ce qui concerne les semi-invariants de seconde espèce, il n'y a qu'à remplacer les racines par leurs inverses. D'ailleurs, il est facile de voir que la troisième substitution ne change pas la différence de deux racines et que la quatrième ne change pas la différence de leurs inverses.
18. Si l'on remplace «i par — ^, Aq et Ai désignant les deux premiers coefficients d'un covariant, on trouve
c'est un semi-invariant qui, multiplié par AJ% est ramené à la forme entière. On obtient ainsi n — i nouveaux semi-invariants par lesquels, à l'aide de Ao, un semi-invariant quelconque, multiplié par une puissance convenable de Ao, peut s'exprimer sous forme entière et rationnelle. Aq, comme nous le verrons, est un semi-invariant arbitraire qui n'est pas un invariant; si l'on exprime de même Aq, on obtient une relation entre les semi-invariants dont on a fait usage.
En effet, comme celui qui correspond à c^ ne s'évanouit pas, on a, dans ce cas, n semi-invariants, tandis qu'il n'existe que n — i semi-invarianls c.
19. Il existe entre les opérations Aj et Aj une dépendance que l'on met en évidence comme il suit : on a
^ Ou . ^ / ^ (^n-
si l'on forme Ai AoW et A^Aj u, on voit immédiatement que les termes qui renferment des dérivées du second ordre sont les mêmes; les autres sont
Z{iJ.^i){n-[}.)a,,,~ et Z^x^ji - ix ^ i)a,j, ~
On a donc, quel que soit le semi-invariant u, (22) AiA2?i — AaAi?; = {n<^ — '2.v)u.
Si II contient les coefficients de plusieurs formes, on doit remplacer ng par ^ng.
Co variants.
20. Nous avons vu que les coefficients d'un covariant devaient satisfaire aux deux séries de relations
AiAy=ryA^l, A2Ây=([x — r/)A^+i.
En outre, on a
jjL désignant l'ordre du covariant, g le degré et v le poids de Ao.
Nous pouvons montrer que la dernière condition peut remplacer une des séries de conditions trouvées plus haut, pourvu que nous ayons encore égard aux relations
AiAo = o ou A2A[ji = o.
On a, en effet,
A2Ao=[xAi ou Al AoAo = [JtAi Al ;
mais
AiA2Ao= A2AiAo-^(2://ji; — 2v)Ao= [-lAol
donc
Al Al = Ao.
De plus, on a
A2 Al = {\x — i) A2, Al A2 Al = ( ;ji — i) A] A,,
mais
AiA2Ai = A2AiA,-f-(S/io-2v — 2)Ai
= A2Ao-+-([Jt — 2)Ai = 2([JL — l)Ai,
donc
AiA2=2Ai,
et ainsi de suite.
Tout semi-invariant détermine donc un et un seul covariant.
SaÔ COVARIANTS DES FORMES BLXAIRES.
Le semi-invariant cf„ détermine la forme donnée (la forme fondamentale).
Il en résulte que les covarianls dépendent les uns des autres de la même manière que les semi-invariants qui les déterminent. Si l'on a, par exemple,
Ao=BoCoH-Do,
et si l'on remplace Bo, Co et Dq par les covariants qu'ils déterminent, on obtient un covariant dont le premier terme a pour coefficient Ao, ce covariant n'est autre que celui qui est déterminé par Ao, car il n'y en a qu'un qui soit ainsi déterminé.
Les théorèmes démontrés plus haut, sur les semi- invariants, en donnent d'autres analogues pour les covariants; ainsi l'on a, par exemple, le théorème suivant :
Un covarianl appartenant à la forme a", multiplié par une puissance convenable de la forme fondamentale, peut s'exprimer en fonction entière et rationnelle au moyen des covariants déterminés par les c.
On démontre des théorèmes analogues au sujet des semiinvariants de seconde espèce.
'•li. Nous avons montré plus haut que les semi-invariant* sont simplement multipliés par une puissance de Xq quand on y remplace a^, par a^; il existe un théorème analogue pour les covarianls. En effet, un covariant n'est pas altéré par la troisième substitution; on a donc identiquement
K = A;(j:i— aiXo)f^--i- - ^\{-^\ — aj^o)!^-^ -+-•• . — X'^x'^q,
ou, en remplaçant a^ par .2?i : x^,
K=A;,.zt
où AÎj,, représente la valeur transformée de Ajj,. Le changement dont nous avons parlé remplace a^ par «^' ; a-^-, en sorte
que A'^ acquiert le dénominateur jc^-^^- où v désigne le poids de Aq', ainsi :
L/i covarianl multiplié par x^ est représenté par son dernier coefficient dans lequel on remplace a p, bq, ... par a'^, hl ...."
On arrive au même résultat en donnant dans Ap au symbole l'accroissemeril — — et en développant par la formule sym-
bolique de Taylor,
Exemple. — A l'aide de c^ et pour «=^4» on forme un covariant d'ordre
