on a
Ao=rto'''2 fl\; iXi^ f(nf(3— aiClo-, 6A2= <7o«4-i-2ai03 — 3rt|,
1X3= ai a^ — a^Os, A4. = «2 ^'4 — «L
et le covarianl peut s'écrire
pour n = 2, C2 est un invariant qui peut s'écrire
pour n = 3, c, donne le covariant
(«0 «2 — «î ) -^ 'î -^ ('"'O «3 — «1 «2 ) -^-'1 "f 0 -+- {fil «3 — a \ )xl
=.[ai«i-(«J.)2]:.r^
Formation de nouveaux semi-invariants.
22. Étant donné un semi-invariant, on peut en déduire de nouveaux, en remplaçant les coefficients a^, «,, a,, ... par une série de fonctions Aq, Aj, Ag, . . . pour lesquelles
AiAo=o, AiAi=Ao, AiA2 = 2Ai, ....
En vertu de ces équations la nouvelle expression s'évanouira quand on la différentiera symboliquement, tout comme l'ancienne. Alors on peut remplacer aq par a^-i- kbq, â: désignant
adjointe. Un semi-invariant H se transformera en
et comme k est arjjilraire, les coefficients de toutes les puissances de k devront être des semi-invarianls. Ainsi, un semiinvariant H en donne un autre
dE , ôti , dH ,
la différentiation symbolique donne
/ ,x * ^H dE dR du ^ cm
(94) A, — - = — , Al-— = — 2- — , ••-, Al- — ^ o.
Otto ocii ofti acii aa,i
La dernière équation montre que d'un semi-invariant on peut en déduire un autre en différentiant par rapport au dernier coefficient «„.
Les équations (2^) montrent encore que chaque dérivée partielle détermine la suivante; H est donc bien déterminée
quand on connaît -— et en vertu de (7) quand on connaît -r —
(et l'on en dirait autant des semi-invariants simultanés).
On voit encore que si a^ entre dans H, a^__^, a^^, . . ., a^ doivent y entrer également. Dans un invariant, à cause de la symétrie, il doit entrer tous les coefficients.
Si, dans un covariant, on regarde — x^ et x^ comme les coefficients d'une forme adjointe — ^0^1 + ■^1^0» dételle sorte que ^,^x^z= — Xq; A2 ^0 = — ^i> les conditions de covariance deviennent des conditions d'invariance. On peut donc considérer les X comme des coefficients et les/ comme de nouveaux coefficients; du covariant K on déduit alors le nouveau covariant
divisé par le degré de K en ^; on lui donne le nom de pre-
COVARIAXTS DES FORMES BIXAIRES. 829
mière polaire de K. Si K =:: Ag = (xi -f- A^o)'' on a, pour expression de celte polaire,
j,(.r, -V A.ro)/'-' -- Ajo (.ri + A^'o)^"» = A^.-' A| .
La première polaire de cette expression est la seconde polaire de K; elle a pour expression A^r'A^. et ainsi de suite; d'ailleurs les polaires de K se réduisent à K si l'on fait y, = ^"1,
Soit, maintenant, Kj un covariant, avec deux paires de variables X el y et de degré /• en /. Si l'on remplace / par x, on obtient un covariant K; soit R la z-'^™^ polaire de K, Kj— R doit alors s'annuler pour y^x (c'est-à-dire pour y^^zx^, ji = ^i) et par suite il doit être divisible par ^i/o — /i^^o que l'on appelle le coi^ariant identique et que l'on désigne par {xy). On a alors
où K, désigne un covariant dont le degré en x et en y est inférieur d'une unité au degré de Ki; si l'on traite K, comme Ki, et ainsi de suite, on a le théorème suivant:
Un coK'ariant qui contient deux paires de variables x et y peut se mettre sous la forme
Kl = R -+- Ri (.n) ^ R o(.rK)'-4- . . . ,
les R désignant des polaires de co^ariants indépendants des y.
2i-. A l'aide du covariant K, formons le nouveau covariant
oao ddy Oa,i
OÙ nous pouvons remplacer les b par les coefficients de (yi-o — -1/0)"; nous trouvons alors le covariant
, ,, c(K „ rJK „ , rJK „ , , . c)K „
foetji ont été jusqu'ici regardés comme des constantes;
33o COVARIANTS DES FORMES BINAIRES.
maintenant supposons-les variables, (26) est encore un covariant, car la relation ix=:2ng — 2 y est encore satisfaite; posons K:= A|^ et remplaçons y par a:, (26) deviendra le co-
variant déterminé par le semi-invariant -— -^« La /•'«™'= polaire
de ce covariant et (26) ont une différence divisible par (^/)
On peut aussi pi-endre K égal à un invariant, (26) sera alors un covariant d'ordre /*; si l'on pose dans ce covariant ji =r «, jû = — I» on retrouve l'invariant, et en procédant ainsi on déduit toujours d'un invariant un covariant d'ordre n ; au contraire, un covariant d'ordre n ne fournit pas toujours un invariant, le résultat pouvant parfois être identiquement nul; nous pouvons donner, sous une forme remarquable, la condition pour que les choses se passent ainsi. Si le covariant A^ est déduit de l'invariant J, (26) donne
Ao= ' — j —nAi
en sorte que
(27) (/J = Ao don — //Al dcin
Un covariant d'ordre n détermine donc de cette manière un invariant quand le second membre de (27) est une différentielle exacte; si cela n'a pas lieu, on obtient un résultat identiquement nul.
25. Lorsque l'on a deux semi-invariants Ao etBo la formule suivante en donne un nouveau
(A— B)' = AoB,.— '^ AiB,.i-^...,
pourvu cependant que /• ne soit pas plus grand que l'ordre d'un des covarianls déterminés par Aq et Bq. Considérons la polaire r'^""^ de l'un d'eux
Ar'-A;-.
et posons dans cette polaire Xo = o, ^'1 = 1, yoz=i, ji = — B;
//(// — I ) ^ di 1.2 ^ da,i-i
1 da,i-
— Aodan-o — . . .
COVARIAMS DES FOKMliS BINAIRES. 33 1
nous obtiendrons le semi-invariant (A— B)'" que nous appellerons le /•'^■™e composant de A et B.
Tout invariant est le n''^"'e composant de «o ^t d'an autre semi-invariant; nous avons, en effet, trouvé
J = l'A — rt)«, Ao= -T— • "««
Ici, (A — a)«-i est identiquement nul; en effet, si, dans
n — i (il — i)(/; -2)
Aofl/j-l \ia,i—2- ; Aort/J-S — • • •
on fait
di , I f)J
Ao = Y — ) Al = ) • • • 1
oa,i n oa,i-\
le composant multiplié par n devient AiJ, c'est-à-dire zéro.
26. Tout semi-invariant est une somme de composants de a^ et de semi-invariants, dont le degré est moindre d'une unité.
Dans
g-H = rt„-T- rt„i -t- ...— -— «7o,
° ()a„ àa„-i dao
nous écrivons le second membre
// n(n — \) , Ao«7j A «/i i -! A a,i-i-T- . . . ,
OÙ, d'après {1^),
AiAo = o; A,A'=Ao, Ai A" =2 A',
nous poserons
A' = Ai^Bo,
A" = A2-+-'2Bi-4-Co,
A"' = A3-i-3B2-^3Ci + Do,
Ao, Bo, Cû, ... désignant des semi-invariants de degré g — i.
On obtient alors
(28) -H - (A - o)'^ - Y (B - «)"-' -^ 'li^LlZll (C - «)«-2^ . . .^
comme il est dit dans le théorème énoncé. Il est sous-entendu que les ordres de Aq, Bq, Cq, ... sont assez élevés pour que les compositions puissent être effectuées; tel n'est pas le cas lorsque le covariant dérivé de Ao est d'un ordre inférieur à 2/1, les ordres de Ao, Bo, Co, ... allant en diminuant de deux unités. Nous supposerons, par exemple, Do = o, et nous supposerons que la formation de C2 ne puisse pas être effectuée. (La difficulté se présente dans le dernier terme d'une des équations précédentes.) On a alors
A'" = As+SBo^SCi, A"= A4+4B3^ "iK,
où K est à déterminer; or, de AiA'^'= 4 A"', on tire
AïK = 3Ci;
de ce que C2 ne peut pas être formé, cela doit tenir à ce que AjCirzro, en sorte que Cj est un semi-invariant de seconde espèce; il faut montrer qu'il n'existe pas de fonction entière K, telle que AïK soit un semi-invariant de seconde espèce. En d'autres termes, il faut montrer que l'équation A2 Al u = o ne peut être satisfaite que si Aj « = o.
Supposons que u soit une solution, effectuons une permutation symétrique sur les indices; nous obtiendrons une nouvelle fonction Ui, et alors AiAo^i — o et, par suite,
AjAi Aoio = o;
ce qui nous donne, pour la première équation, la nouvelle solution A^Ui.
Soient g le degré, v le poids de u, A2 «1 sera de degré g- et de poids ng — V -h i. Supposons que u soit celle des solutions de degré g qui a le plus petit poids, alors
Ai« est un semi-invariant de seconde espèce, et si p. désigne l'ordre du covariant correspondant
ce qui est en contradiction avec ce qui précède, puisque p. est positif ou nul. Ci doit donc être nul, et le tliéorème est vrai dans tous les cas.
Nous avons alors à notre disposition un moyen pour former tous les semi-invariants; en effet, en composant a^ avec luimême on forme les semi-invariants du second degré; en composant ceux-ci avec «o> on a les semi-invariants du troisième degré, et ainsi de suite.
Exe/)iple : A\ecA(,— Co, « = 3,on forme rinvariant[uoiV(2i)]
R = 2(Â — A)2 = 4 (Ao A, - Af ) = i{aoa.2 - af ) {a^ a^ — a?, )
— (rto«3— «iwa)-- Pour n -= 4, on a
i2(AoA.2 — Af j = 2(<7ort2 — «D («oa4-f-'2 0irt3 — 3 al) — 3(«7o'''3— «"'K'a)")
ce qui est un semi-invariant du quatrième ordre (ordre du covariant correspondant).
Pour «=: 27 -i-i, on a «0*^27+1 "* ••• 6*' <^'^ difïérentiant par rapport à «27+1, on a un semi-invariant
Ces semi-invariants et ceux que nous avons appelés «^2» d^, dg, ... peuvent servir à exprimer tous les semi-invariants sous forme rationnelle, avec des dénominateurs qui sont des puissances de «o» et l'on pourra obtenir ainsi, ordinairement, des puissances moins élevées de «0 en dénominateur, que si l'on employait les c et les d.
27. Nous avons vu que tous les semi-invariants, multipliés par une puissance convenable de ciq, pouvaient s'exprimer en fonction entière des c, et, en faisant usage des d et des e,
nous avons vu que celle puissance de «o pouvait être abaissée; on peut se demander si, en introduisant de nouveaux semi-invariants, on peut parvenir à réduire ultérieurement cette puissance de «„•
On peut enfin se demander s'il n'existe pas un nombre fini de semi-invariants d'une forme permettant d'exprimer sous forme entière tous les autres. C'est ce qui a lieu effectivement, et Gordan en a donné une démonstration très compliquée en considérant successivement tous les semi-invariants de degrés croissants, en écartant ceux qui peuvent s'exprimer en fonction d'autres de degrés moindres; nous ne parlerons pas de cette démonstration, mais renverrons à celle beaucoup plus simple de Hilbert {Mathematische Annalen, Bd. 33). Sylvester a donné, à l'aide de longs calculs, le nombre des semi-invariants nécessaires jusqu'à « = io {American Journal, Bd. 2). L'auteur du présent Traité a poussé les recherches de Hilbertplus loin {Acta mathematica, Bd. 15 ; Théorie der regulâren Graphs) et a obtenu des résultais qui permettront peut-être de trouver directement les semiinvariants en fonction desquels on peut exprimer les autres. Nous exposerons ici un problème dont la solution sera nécessaire pour arriver à ce but.
Si l'on considère l'expression
Pi = (.ri — ,r, )-A f .ri — .rs)". . . . (.r„i — a-,,)'^;^,
oii P, est de même degré par rapport à tous les oc, et si l'on forme la somme 2P relative aux valeurs que prend P quand on y permute les x, ce sera une fonction symétrique, qui est susceptible dans des cas particuliers de s'annuler identiquement. Le problème dont nous avons parlé a pour but de caractériser les expressions Pi qui jouissent de cette propriété.
