Le premier composant de A» et Bo est
Dn=(A — B)'= AoB,-BoAi.
On l'appelle le déterminant fonctionnel ûe. Aq et Bq (à proprement parler, c'est celui des covarianls correspondants):
si l'on forme le déterminant fonctionnel de D^ et d'un autre semi-invariant Co, on a
DoCi — CoD, = AoBiCi-A,BoC,-AiB,Co-A.,BoCo
= -^[Bo(A-C)^+Co(A-B)2-A,(B-C)2],
ce qui permet d'exprimer le déterminant fonctionnel an moyen de formes d'un degré moindre.
Le produit de deux déterminants fonctionnels est donné par la formule
2(AoBi-BoAi)(CoD,-DoCi)
=— AoCo(B-D)2-vAoDo(B-Cr--BoCo(A-D)2-BoDo(A — C)5.
On appelle forme hessienne de Aq la quantité AqA, — A7, Le second composant de cette quantité et de Ao est, si l'on suppose que Aq détermine un covariant, d'ordre ft
(AoAo — Af)A2- (A0A3- A, A,)A,
-h - — ^- Ao[2A,A3+([JL — 3)AoAi-(!JL- i)A|]=. -^^-^^AoDi-
où D4 est formé d'une manière analogue à d,,.
Systèmes généraux de formes jusqu'à « = 4.
29. Nous supposerons que nous n'ayons affaire qu'à une seule forme fondamentale de degré «14, et nous déterminerons le système de formes qui lui correspond, c'est-à-dire les semiinvariants nécessaires et suffisants pour pouvoir exprimer tous les autres. Pour y parvenir, nous établirons le théorème suivant :
Si, dans un semi-invariant d'une forme a", nous remplaçons respectivement a^, a,, a^, . . . , a,^ par o, ag, 2 «1, . . . , nan-i, nous obtenons un semi-invariant.
Un semi-invariant u peut se mettre sous la forme
A ne contenant pas «o- ^ous poserons
ou
âa,
du ^ du du
dcii ' (Ja3 ùa,i
et, comme A, u = o, on a
A'i A -r- Oo-^lB)
où «0 n'entre pas dans A[\; cette équation se partage alors dans les deux suivantes :
àX ÔX „ .)A
-— - -T- Al B = o, 2«i ^3^7-: ^...= 0,
w/i 0(1-2 ' da^
Si dans A on met «o à la place de a^, 2 ai à la place de a,, etc., A se changera en A' et l'on aura
dX' dX' , dX!
aç^^- -r-icii —-—■. .-^{n — i)«„2- = o,
o«i da-i da,i-i
formule qui montre que A' est un semi-invariant de a^'K Si g et V sont le degré et le poids de a, le degré g' et le poids v' de A' seront
On passe facilement de A' à A. Quand on connaît A, u n'est pas en général déterminé, B ne l'étant pas. Mais si l'on a «1= A + Biao, «2 = A. -f-Bgaoj on a
«1 — "2= (61 — 62)^/0, Bi — Bo désignant un semi-invariant de degré g — i.
30. Pour n z= 2, on voit facilement que a^ et c-i constitue le système général de formes et que a*cf est la forme la plus générale d'un semi-invariant.
Si II = 3, nous allons voir que le système général de formes est
ao, C2=«o«2 — rtj, C3=alci3 — 3«o«i«2-î- 2rtf
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. SSj
et l'invariant
On a les valeurs suivantes de A'
rtj, al, alc^.
Tous les A' qui peuvent être formés à l'aide des semiinvariants de aj. appartenant à a^, ils ont la forme a'^c^, mais ici a et (3 ne sont pas arbitraires, car pour m on a 3^^ 2v et pour A', par suite, 3 «■'^2(v'+^'); d'où g'^2v' ou oc ^2(3. Ils peuvent tous s'exprimer comme produits des trois semi-invariants trouvés, excepté si a := 2|3 h- i. Ce cas ne peut pas se présenter, car u aurait la forme
U ~ OiRr'-T- «oB,
d'oiî
o = Al ii = <^/o H? -;- «0 ^1 B,
où
AiB=— HP,
ce qui est impossible (26).
Si nous considérons un u arbitraire, nous pouvons en déduire l'A' correspondant et l'exprimer sous forme entière à l'aide des trois A' spéciaux, et si l'on remplace ces A' par les semi-invariants H, c,, Cg, on a u exprimé à l'aide de ces quantités à un terme près de la forme a,,"! qu'il faut calculer de la même manière, ce qui prouve que si le théorème est vrai pour le degré g — i, il l'est pour le degré g; il est donc démontré.
Si n = 4, nous allons prouver que le système général de formes est
«0, Co, Cs, i = a^jO'^ — ^(iiOz-^- "ial,
j = {a^a^ — «f)rt4-T- la^aid^ — a\ — a<^a\
Clg cil «2 I «1 «2 «3 I ,
<■ et / désignant deux invarianls. Les A' sont
al, al, C.2, C3,
et il faut prouver que tous les A' peuvent s'exprimer sous forme enlière à l'aide de ceux-ci.
Nous trouvons, comme plus haut, ^'=v'; si l'on exprime A' en fonction des c et a,, (14), «o ne peut entrer en dénominateur, car pour tout c le degré et le poids sont égaux : tout A' doit donc se composer de termes de la forme
Si a > T, a^ peut s'exprimer à l'aide de a^ et al, et nous avons seulement à examiner le cas où A'— «oc^cj. Mais on peut voir que ce cas ne peut pas se présenter; en effet, on aurait
Il = /?! S -1- «0 Br
OÙ s est un semi-invariant de aj.; pour A', on a g' = -<y-\-i et pour u, 2ff = v^ i, et pour B, 2^2^= "■>%', c'est la condition pour que B soit un invariant, et nous voyons comme pour n=z3 que l'équation est impossible. Donc tous les A' peuvent s'exprimer à l'aide des 4 considérés plus haut; nous en concluons que le système de formes est composé de
et des invariants / et/.
Nous n'avons considéré que des semi-invariants de première espèce, mais ils peuvent servir à former tous les covariants.
31. La signification des covariants et des invariants consiste en ceci : en les égalant à zéro, on obtient les propriétés des formes qui restent les mêmes quand elles subissent des substitutions linéaires. Le discriminant exprime une semblable propriété et est un invariant; poura^, c'est la quantité H écrite plus haut. Nous allons chercher, comme exercice, la condition pour que les points racines de a^ = o, ou les zéros de a^., forment une proportion harmonique ou une division harmo-
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. SSg
nique sur une droite, en les considérant comme des abscisses de points en ligne droite; cette propriété n'est pas altérée par une substitution linéaire, et nous pouvons supposer les abscisses de nos quatre points égales à o, i, oo et — i; alors l'équation a la forme
4^i^o(ri — ?o) = Oi où ^0 = <^'2= «i= o, fii=i, ^3 = — i;
on trouve y = o, condition qui convient à toute équation du quatrième degré.
Pour former le discriminant de a^, nous observerons qu'il est du douzième degré par rapport aux racines de a^ = o, a,, est de degré q par rapport à ces racines; le discriminant est alors un invariant de poids 12 et, par suite, de la forme ai*+ {3y% a et|3 désignant des constantes dont le rapport est à déterminer (si nous faisons abstraction d'un facteur commun); nous considérerons, pour cela, une équation simple de discriminant nui, par exemple
ce qui donne pour le discriminant
Les covariants égaux à zéro fournissent des points qui sont liés aux points racines des formes fondamentales par des relations qui restent inaltérées par une substitution linéaire. Par exemple, les formes a% et bj, ont pour semi-invariant a^bi — b^ai et pour covariant correspondant
{af,bi — 6o«i).rj -i- {a^bi— ^o«2)-fi.ï'o-i-(«i^2— ^i«2)-^o !
les points racines de celte équation forment une division harmonique avec les points racines de chacune des formes al, bl {voir p. i64).
340 FORMES QUADRATIQUES.
Formes quadratiques à plusieurs variables.
32. La forme la plus générale d'une forme quadratique à Il variables est, en supposant «/,/= «//„
(i) f= aiix\ -\- iaiiXiXn-\- a.inx\ +...-+- a,i7i-^fi= ^OkiXkXi;
elle sera transformée par une substitution linéaire générale
si l'on fait
/ x^= aiiJi-i-ai2r2-4-...-+-ai„j„,
OÙ le déterminant de la substitution 1±a.^y(Xz^, . . . a„,j n'est pas nul. Nous supposerons les a et les a réels.
Nous avons vu plusbaut (p. 85) que /pouvait être ramené, et cela de plusieurs manières, à la forme
es A étant réels et les / désignant des fonctions linéaires et homogènes des a:; nous supposerons ces fonctions linéairement indépendantes les unes des autres; si cela n'avait pas lieu, on pourrait toujours remplacer un certain nombre des y par leurs valeurs en fonction des autres et effectuer de nouveau la décomposition en cai-rés; en tout cas/?;: /?.
33. Si l'on ramène f de deux manières à la forme ( 3 ), dans les deux cas le nombre des termes sera le même.
Supposons, en effet, que l'on ait identiquement
Aijï-HAa/i 4-...-T- A/,}-2 =BiY2 + B2Y| +. . .+ B^Y|,
OÙ q>P' Les / étant linéairement indépendants, nous pouvons exprimer x^, x^, . . ., Xp en fonctions linéaires de yi, fn, • • -1 fp 6t des autres x et porter leurs valeurs dans Yi, Y2, . . . , Y,j, qui deviendront des fonctions de ji, j^, . . . , j^,, Xp+i, . . ., x,i. En différentiant la relation trouvée par rapport
FORMES QUADRATIQUES. 34^
à ocp^y, on obtiendrait une relation entre les Y qui serait linéaire, ce qui est contraire à nos hypotlièses. Donc q^p .
Dans tous les cas, il y aura un même nombre de coefficients A et B positifs et négatifs.
Supposons Al, A2, . . . , A,, positifs, Bi, B,, . . ., B/ négatifs, et les autres A négatifs, les autres B positifs; si le théorème n'est pas vrai, nous pouvons supposer r -^ l<Cp. Si l'on pose
Jl=j2 = .--=J/-= Vi=y2 = ...= Y/= O,
on pourra de ces équations tirer un certain nombre des œ en fonction des autres et porter leurs valeurs dans l'équation
Al jf -^ A^ji -^. . . = Bi Y? -+- Bo Yl . . . .
Si tous les Y s'annulent, c'est qu'il existe entre eux des relations linéaires, ce qui est contraire à nos hypothèses; s'ils ne sont pas tous nuls, le second membre de l'équation précédente sera positif, tandis que le premier sera négatif ou nul, ce qui est absurde.
Substitutions orthogonales.
34. 11 y a des substitutions linéaires qui changent l'expression
x\ -h .ri -h . . . ■+- x%
on leur donne le nom de substitutions orthogonales. Il est facile de voir qu'elles satisfont aux relations
<4) a.\p-\~alp^...-^a.%p = \ (/> = i, 2, . . . , «)»
(5) ai/,ai/-+- aoA-ao/-!-.. .-+-a«^a„/= o {k,l = i , -2, . . . , n; k^l).
En vertu de ces équations, si l'on multiplie la première équation (2) parait, la seconde par «2^, ... et si on les ajoute, on a
<6) jr /i-=ai/tJ^i-l-a-2A-^2 -*-••• -H a«A.^rt (/i = i, 2, . . . , «),
342 FORMES QUADRATIQUES.
et l'on reconnaît, en vertu de yl -^ yl -h . . .■= x\ ^ a-l -\- . . . que cette substitution est encore orthogonale.
Pour n =: 2 elrt=:3, les substitutions orthogonales représentent des transformations de coordonnées rectangulaires sans changement d'origine.
35. Nous allons essayer de ramener / à la forme (3) au moyen d'une substitution orthogonale; nous supposerons le problème possible, quitte à le démontrer plus loin.
La formule
(7) f=ktYl-^AoXl-h...-^Anfh
donne
dxi
Cette équation, étant identique, subsistera en remplaçant œ^ œ.2, . . . , Xn par ai/,., a^,,, • • • ? (^'■nk, valeurs annulant les y, excepté j'i qu'elles rendent égal à un, et alors on aura
«a «lA-f- Cli2 22/.- -I- . . • — Uin^nk = Aa a/A- (/ = 1 , 2, . . . , «)
ou
(8) \ an^xa^iciii— -^k)^U' — - ■■ — ain'-'-nk^o,
d'où nous tirons, en éliminant les a et en remplaçant k/,. par s,
ni^ — S «12 <Vi3
Si l'on permute circulairement Ai, Aj, ..., A,j et ji^ Vj, . . ., yn l'équation (7) ne change pas; les coefficients de (2) se permutent circulairement, tandis que les x et les a ne changent pas; dans (8) A;^ est remplacé par A^^-i tandis que les a en (9) ne changent pas. L'équation (9) a donc pour racines Aj, Aj, . . ., A„.
FORMES QUADRATIQUES. 343
Toutes ces racines sont réelles. — En effet, les coefficienls de l'équation (9) sont, par hypothèse, réels; s'il y a des racines imaginaires, elles doivent être conjuguées deux à deux; soient A/t et A/ deux semblables racines; remplaçons dans (8) Aa- par sa valeur, alors de ces équations et de (4) on pourra tirer a^k, «aA. • • -, ««a» et comme dans les équations qui déterminent A^- il n'entre pas d'imaginaires, pour déterminer ai/, a,,-, ..., a„/, il suffira de changer i en — i;ilen résulte que ot-jk et cf.ji sont conjugués : leur produit est donc positif, ce qui est impossible en vertu de (5).
36. Lorsque l'on remplace A^. par sa valeur dans (8) le déterminant de ces équations s'annule et l'une de ces équations devient une conséquence des autres, et si nous désignons par AiA:, Aayt» •■■t^nk Igs mincurs relatifs à la première ligne, nous avons
«lA- ^ik <X,tk I
Au- Mk A,a- v/a^a-+A|a. + ...^A,^a
où le dernier rapport est déterminé par (4). Les a ont donc des valeurs bien déterminées quand tous les A ne sont pas nuls; si tel était le cas, on pourrait faire usage d'une autre ligne. Enfin, si tous les mineurs étaient nuls, deux des équations (8) rentreraient dans les autres, une des quantités a pourrait être choisie arbitrairement (moindre que i); dans ce cas on a o'{s) = o, et deux valeurs de s sont égales, car
,, , do do
et tous les termes du second membre sont nuls, car les déri-
do
sont des mineurs du déterminant 9(5). On
— d{nii-s)
rait de même que si deux des quantités a peuvent être choisies arbitrairement o"{s) = o et ainsi de suite.
Nous allons montrer maintenant que la substitution considérée est orthogonale et que l'équation (3) est satisfaite. En
344 FORMES QUADRATIQUES.
effet, si A^. et A/ sont des racines distinctes, on a
f'iï^llc-^fni'^lk-^- ■ •— C'in^nk ^ A/,a,7„ <7/i ai/ -t- r//2 «2/ -+-••• "t- (lin '^ni ~ A/ a//.
Si l'on multiplie la première équation par a,/, la seconde par o-ik et si l'on retranche, on a
fii\{rLxk'3.ii— ai/a//,) -^ ariia^j^au — c^i/^ik)- ■ -^ ( A/, — A/)a;A:a,7 ;
si l'on fait « =r: i, 2, . . , /i et si l'on ajoute toutes les équations ainsi obtenues, on remarque que, en vertu de la relation a„jp=-. aj,,„, lous les termes du premier membre se détruisent et l'on a
(A/,— A/)(ai/ta]/-t-a2/,a2/H-. ..-+-«„/, a,,/) = o,
de sorte que les équations (5) sont satisfaites, ainsi que les équations (4) qui ont été introduites pour achever de déterminer les a.
De ces équations il résulte que tous les termes de la forme B/„,yiy,„, où / et >7i sont différents, s'évanouissent, en sorte que l'on a bien la relation (3).
Invariants.
37. Une substitution linéaire transforme lajjXiXj en une autre IbijyiYj, avec d'autres coefficients. Toute fonction des coefficients qui, après la substitution, se trouve seulement multipliée par une puissance du déterminant de la substitution est ce que l'on appelle un invariant.
Quand on multiplie le déterminant de la substitution
D = :S±a„,a22, ...,ot„„
par lui-même on obtient un nouveau déterminant dont l'élément général est
Si la substitution est orthogonale tous ces éléments sont
FORMKS QUADRATIQUES. 345
nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à i; le déterminant D est donc dans ce cas égal à ± i.
Dans le cas général les valeurs des coefficients de la transformée sont données par la formule
Si l'on multiplie le déterminant
deux fois par D, on obtient le déterminant A où les a sont remplacés par des b; mais si l'on multiplie A par D^ le terme général sera
«a Cji -(- rt/2 cj-2 -+-... -4- ain Cjn-,
ce qui montre ([u'après le changement des a en i, A est multiplié parD^. A est donc un invariant; on lui donne le nom de discriminant de/.
9 {s) devient égal à A quand on fait 5 = 0. Donc A = o est la condition pour que /se décompose en n — i carrés: c'est là une propriété qui ne se trouve pas altérée, comme on l'a vu, par une substitution linéaire.
Lorsque l'on effectue une substitution orthogonale, les coefficients de 9 {s) ne sont pas altérés; pour le voir il suffit de considérer l'expression
/ — ^(■^i -^ x'i— . . .-^ xJi).
dont le discriminant est 9(5), quel que soit ^, ce qui exige que tous les coefficients de 9(5) restent les mêmes après la substitution orthogonale.
