II. Soit
s = a -i-bx -i- y fia , 6).
On aura :
C ) Lagr.vxge (Mém. de Berl., 1774, (Huvres, I. IV, p. 80). La théorie complète des relatioDs qui existent entre les intégrales complètes a été esquissée par Jacobi, Vorlestmgen, pp. 471-509, et en divers endroits de ses mémoires, et par Mayer, Math. Annalen, t. III, pp. 449-432 et Nachrichten de Golliugen , 1872, n» 21 , pp. 403-420 ; mais ce difficile sujet ne peut être traité qu'au moyen de la théorie générale des transformations de Lje, que ce géomèli-e n'a pas encore publiée (voir Nachricbten, 1872, p. 484). C'est jwurquoi nous nous contenions d'exposer la partie absolument nécessaire des recherches de ces géomètres.
I**) Lagra>gk (Mém. de Berlin , 1774, Œuvres, t. IV, n" 39, pp. 6.3-64; II" il), pp. 73 et suivantes).
(16) On tire de là l'équation :
q = f{z.-px — qy,p).
III. Équation de Clairaut généralisée. Nous appelons ainsi l'équation que l'on déduit de
z^=ax-{-by-hf{a,b) ,
en éliminant a et 6, au moyen des relations suivantes, trouvées
par dérivation,
L'équation aux dérivées partielles est donc
z = px-^qy-i-f{p,q).
L'intégrale générale de celle-ci est donnée par les équations :
z^=ax-\-by-\-f(a,b),
b = ;ro,
Sf Sf
0 = a; -+- yTc'a h h — tu' a.
Sa àb
Elle représente une surface développable, enveloppe du plan dont l'équation est l'intégrale complète.
La solution singulière
z =ax-\-by -\- f[a,b) Sf Sf
Sa ' -^ Sb
i*eprésente une surface tangente à chacun de ces plans en un point, ou à chaque surface développable suivant une courbe (comparez le n° 21).
IV. Comme exemple d'équation de Clairaut généralisée, soit à résoudre le problème suivant : « Trouver les surfaces dont le plan tangent est à une distance constante h de l'origine des coordonnées. » L'équation du problème est
z = px -{-qy -i- h\/\ -Hp*H-g^.
L'intégrale complète est l'équation d'un plan quelconque, situé à une distance h de l'orisine :
z = ax-\-by-^h J/ 1 -i- a* -t- ô*.
La solution singulière est la sphère,
tangente à tous ces plans.
L'intégrale générale représentera une surface développable quelconque circonscrite à cette sphère. Si l'on fait, par exemple,
avi -\-bn = l,
on trouve un cylindre de révolution; car cette relation équivaut, dans le cas actuel, à
k cause de p = a, q = b (voir n° 20). Si l'on fait
h V/ 1 -»- a* -t- 6* = k — ma — nb ,
uve un cône, qui sera encore de révolution, puisqu'il est nscrit à la sphère. En effet, on a, dans ce cas :
z =■ ax -i- by -i- {k — ma — nb), et
z — k =p (or — m) -4- g (1/ — n),
qui appartient au cône ayant pour sommet (m, n, k) (voir n» 20). On peut remarquer, avec Lagrange , à propos de cet exemple, qu'il est impossible de déterminer 77 de manière que l'intégrale générale
« = a j -+- y -ra -t- h\/l -H a* -»-(raj*, a-^ ra.Tc'a
0 = X -i- yz'a -\- h
y/\ ^a*-t-(Ta)»
représente la sphère. On ne peut, en effet, éliminer x, »/ et z entre les deux équations que nous venons d'écrire et celle de la sphère. D'ailleurs, ces deux équations représentent une surface
développable, et l'on sait que la sphère, analytiquement parlant, est, comme toutes les surfaces du second degré à centre unique, une surface gauche; chaque génératrice est imaginaire, sauf en un point.
§ 5. Généi'aliot» deg équalion» à uu notnbi'e quelconqtttf *te var-iable», Théo$'ie de Ejugt'ange (*j.
10. Génération de ces équations, de trois manières différentes.
Soit la relation
2 = F(a;,,a;j, ...,a7„,ai, «2, ..., a«) (1)
On en déduit :
^F <?F JF ...
En éliminant a,, ..., a„, entre les équations (1) et (2), on trouvera une équation aux dérivées partielles du premier ordre :
/■(3,a;,,...,ic„,p,,...,p„) = 0, ou
Z='f(x,,Xi,...,X„,p^,lJ^,...,Pn) (ô;
On trouve la même équation (3) en supposant que a, , ... , a„ soient des fonctions de ac,, ..., x„ , telles que l'on ait :
J'F da. JF dOn
(J'Ai dXi ^a„ dXi
JF da, J'F da„
^«4 dXu oOu dx„
On déduit de ces relations, en posant
Xi .. . Xn
A-— =0, A — = 0,...,Aj-=0 (3)
Sa^ àa^ Sa,,
(*) Nous féiluisons ce qui se rapporte aux équations à n variables indépendantes au strict nécessaire, les principes ayant été suffisamment exposéd dans le paragraphe précédent.
)ii satisfait à ces dernières de diverses manières : i" en posant
JF <?F JT
quations qui suffisent pour déterminer les fonctions a; 2" en
lOsant
J7| . • . Xn
lette équation (7) sera vérifiée chaque fois que les fonctions a,,
,,... ,a„ne seront pas indépendantes les unes des autres. Soit
;=(w + A), et, pour simplifier les écritures, écrivons ôj, &:, ...,&«,;
a lieu de «i^,, ai,+i, ..., a„. Pour satisfaire à l'équation (7), nous
crirons :
ft, = ^, (ai,aj,...,ai), (7;)
6m=Ti»(«i, flî,. ..fli) ("i.)
»n aura donc, pour l'une quelconque des quantités 6,
db ^T da, ^T da^ Stc dai
dx Sa^ dx Sa^ dx Sok dx
I en résulte que chacune des équations (4) prend la forme
IS¥ S¥ Sr, S? ST„\da. \
XSa^ Sb^ Sa, Sbra ^a, / dx 1
[Sat ■ <?6, Soi J6„ Sat j dx ~ ]
lultiplions les équations (4;) (4;) (43) ... (4*) respectivement par x,,(lxi, ilxz, ...jrfxi, ajoutons les résultats, il viendra :
pF ^F Jt, ^F Sx„\
IdV SF <?'T SF St„\
\dat db, Sat Sbm Sat /
dat = 0.
Les fonctions «i , a^, ... a^ sont indépendantes les unes des autres, et, par suite, leurs différentielles sont arbitraires; on tire donc, de l'équation précédente, les k relations :
<?F <Î~F J'T, ^F Jv„, dz
-— -t-— -— in H—- — -=0 ou — = 0, . . . (8,)
. , __i^ 1 Ji'=o ou — =0. . . . (8i)
Les relations (7) et (8) sufliront pour déterminer les fonctions a et b. Les cas les plus remarquables sont ceux où m = i et où wj = (n — i). Si ni== i, k = [n — 1), et les équations (7) et (8)
deviennent :
. . o„ = T(fl,,aj,as,...,fl„)), (7'")
JF J'F ^TT JF ^F ^TT
Si m = {n — \),k = \, et les équations (7') et (8) deviennent
fl, =/T, (a„), «4= TTj («„),..., a«-{ =T„-i (a,,), <ÎF " S? ^F ^F
La solution (1) de l'équation (5), est V intégrale complète; la solution donnée par les relations (1) et (G) est la solution singulière; la solution donnée par les relations- (4), (7"), (8) est V intégrale générale; les autres solutions données par (1), (7), (8) n'ont pas reçu de nom particulier. Elles sont intermédiaires entre la solution singulière et l'intégrale générale; on peut les appeler intégrales semi-singulières.
Ce qui précède peut s'exposer facilement encore, quand la relaj tion (1) entre z, les a: et les a est donnée sous forme implicite.
