Toute intégrale de l'équation (3) est comprise dans le
précédentes. Soit
( 21 ) me solution de (5;, c"csl-à-dire supposons que
Posons
(dp àp \
à? ôl. dF 5à ^F ^
Sxi Sxi Sx^ Sx^ Sx» Sx»
ît tirons de là les valeurs de a, , a^, ...,a„. Pour ces valeurs, on lura identiquement, puisque F est une solution de (3),
/ S¥ SF\
F(d;,,...,a:„,a„...,a„) = ? ja;j,...,a-„, — , — . — K • • - C^^)
-JF ôV doi dF da„ Sp
dXi cJffj dj-, àa„ dx, àx^
^ JF da, :?¥ da„ Ji
Sx„ da, (/j-„ -fa,, ddj„ Sx„ '
d'où; au moyen des équations (H), F ^i et les équations (4). La solution r = ^ est donc comprise parmi celles qui ont été donoées au numéro précédent. On peut encore déduire les quantités a de l'équation (12) et de (n — I) des équations (11).
Si la solution (9) était donnée sous forme d'une relation impiiite entre z et les x, on pourrait faire encore la démonstration précédente.
Il résulte d'ailleurs de tout ce que nous venons de démontrer qu'tï suffit d'avoir la solution complète d'une équation aux dérivées partielles pour en connaître toutes les solutions. Ainsi, par exemple, toutes les solutions de Véquation de Clairaul généra- Uiée (comparez le n" 28)
peuvent se déduire de l'intégrale générale : Ccv,^/Ujl k 5 = a^x^ -H o^j H h a„Xn -4- /"(a,, o, , . . . , a„).
[1^. Génération des équations aux dérivées partielles simultanées (*). Considérons la relation
z = V(x^,x^,...Xn,a^,a^,... .a„,)^in <^7i (1')
On en déduit
En éliminant ai ,..., a„, entre ces (n -+- 1) équations, on trouve le système suivant de k = {n -\- i — m) équations simultanées, aux dérivées partielles et du premier ordre,
cliacune des fonctions /"dépendant de l'ensemble ou d'une partie des quantités r, x, , ..., x„,pt, ..., p„.
On trouve les mêmes équations (5'), si Ion suppose que a,,. ..,o„,, soient des fonctions des variables telles que
^V JF
— -(/fliH ^^-drr,n = (): (4')
dfl, dflm
car, dans ce cas, on aura
dz = -— da-i H 1- - — dx,„ ,
relation équivalente aux équations (2'). L'équation (4') elle-même est équivalente aux n équations
^F dOt £F^ dflu
^Oi dx ^a,,, dx
Pour satisfaire à l'équation (4') on peut poser, en premier lieu ,
d«, = 0, ...,dam = 0,
ce qui conduit à V intégrale complète (4').
En second lieu, on peut se donner les équations
ce qui conduit à la solution singulière.
(*) Le lecteur remarquera que ce numéro 12 contient, sous une forme exlrêmemenl condensée, tous les résultats précédents relatifs à la génération des équations aux dérivées partielles.
En troisièiue lieu , on peut supposer
o« = x(tfi,....a»,-i), ee qui donne
<?F ^F J't ^F ^F ^tt
OU
a»r-l = ^, («1, ...,am-i);am = ^i(ai, -.■.Om-i),
ce qui donne
JF J'F d.T, <?F Jx,
<5'F JF J'.r, dF J'.r,
et ainsi de suite.
Enfin, on peut faire des hypothèses intermédiaires entre les précédentes, par exemple, poser
JF
Dans tous les cas, on est conduit à un nombre d'équations suffisant poui" déterminer toutes les quantités a. Toute solution,
est comprise parmi les précédentes. Les valeurs de z et des quantités p déduites de la valeur de z satisfont aux équations (5'), et par suite aux équations équivalentes (!') (2). On a donc
y (ar^, ....it,) = F(a:,,...,a;,,ai,... ,a„) (10')
iïi= fF :^^Jl (11')
Tirons de la première de ces équations, par différcnliation, la suivante :
îT^ fp JF ^ JF ^
^F . iF -+-T— rfffiH ^-■;; — dam (!5')
«Ta, dOm
valeurs des quantités a tirées de m des équations (10) et (M')
satisfont aux autres équations (10') et (11') et par suite à l'équation (13'). Or celle-ci, à cause des relations (H '), se réduit à
-—dat-^- Ht — dam (4)
Donc, enfin, la solution z = i/- est comprise parmi celles auxquelles conduit cette relation (4').
Remarque. Les fonctions /"du système simultané (5') ont entre elles des relations identiques, comme on le verra à propos de la méthode de Jacobi.l
§ 4. €Séê»éfalioit des érjuationt A **n ttotnbre quelconque de vufiables. Théot'ie de Mjie.
18. Génération d'une équation aux dérivées partielles, au moyen de plusieurs équations primitives (*). I. Considérons une variété à {n — m -^ i) dimensions définies par m équations contenant, outre les variables, n constantes arbitraires :
Fm(s,a;,,...,a;„,a,,...,«„) = 0 (1,»)
Cherchons l'ensemble des éléments passant par les points de cette variété et tels que l'on ait
dz=PidXi-i i-p„dx„ ('2)
Pour cela, considérons la variété à n dimensions dont l'équation
est
F=AiF,M hX,» ^F,„, -+-F™ = 0, (ô)
>'i, •••» >m-i étant des constantes arbitraires. Tojis les points de la variété (1) font partie de la variété (5). Cherchons, en ces points de (3) , les éléments qui satisfont à la condition (2) ; pour cela , nous devons écrire les équations
JF J'F JF J-F
àXi aZ aXn àZ
(*) SoPHts Lie : Zur Théorie partieller Differentialgleichungen ersler Ordnung, insbesondere ilber eine Classification derselbcn (Nachrichteii tle Gollingen, 1872, pp. 473-489, n» 25), pp. 480-482.
En élimiDant a,,..., a,, ji,..., > «.-i» entre les équations (i) et (4), nous trouverons une équation aux dérivées partielles,
dont tous les éléments satisferont à la condition (2) et auront leurs points sur la variété (1).
Réciproquement, Téquation (5) représente tous les éléments définis par les équations (I) et (2). On déduit, en effet, de l'équation (1), en se servant de la valeur (2) de dz :
/JF, JF,\ fiF. ^F,\
On voit par là que (« — wj) seulement des différentielles dx sont arbitraires, pour les éléments représentés par les équations (1) et (2). Pour éliminer m différentielles des équations (6), multiplions ces équations respectivement par i,, ).2, ...,)„i et lunité, et ajoutons-les; égalons à zéro les coefficients de m différentielles, en vue de lelimination, puis les coefficients des autres, à cause de l'indépendance de ces différcnlicllcs restantes. Ces calculs nous conduisent aux équations (4). Ce sont les conditions nécessaires pour que les éléments qui satisfont aux équations (1) satisfassent aussi à l'équation (2).
Donc, enfin, les équations (1) et (4) représentent les éléments cherchés, et la résultante (o) de ces équations est l'équation unique de ces »*" éléments.
[H. Imaginons que les équations (1) soient résolues par rapport à m des constanles, et appelons les {n — m) = k restantes, 6,, 6i, ..., 6i. Supposons que les nouvelles équations ainsi obtenues soient les suivantes
H, (5,a:,,...,T,, 6,,..., 6*) — fl, = 0 (1',)
En raisonnant comme dans le cas précédent, on sera amené à éliminer les quantités a, 6 et ). entre ces in équations (!'), et les suivantes :
La fonction H est définie par l'équation H = >i(Hi — fl,) 4-;j(H2— Oj)h H ;„, (H,„i — o,„i) -^ (H,„ - a,„),
ou encore,
H = >iH, + j^h^ + ... -+- /m-i H,„i H- H,„ -h h.
en posant
0 = /jOi -+- ;j«j H h- ;,„ 1 «„,! -t- a„,-4- /(.
Les quantités «,, ..., o„, n'entrent pas dans les équations (4'); donc l'élimination des quantités o,6, A, entre les équations (!') (4') revient à celle des quantités 6 et ). entre les équations (4').
Enfin , si l'on considère la relation unique
et si l'on cherche l'équation aux dérivées partielles du premier ordre correspondante, on sera aussi conduit à éliminer les constantes & et X entre les équations (4'). Par conséquent , l'équation
/■(z,a;,,...,ar„,pi,...,p„) = 0 (5)
est celle des éléments représentés par les équations (1) et (2), ou (i') et (2), ou (1") et (2), et il suffira de trouver une solution (I") de cette équation (5), pour connaître implicitement la solution (l')ou(4).]
14. Classification des équations aux dérivées partielles. Des considérations précédentes résulte la classification suivante des équations aux dérivées partielles (*).
L L'équation provient de (n -4- I) relations analogues à {i).
{*)■ Lie, Zur Théorie, etc. (Nachrichten.p. 485).
Dans ce cas, on peut éliminer les constantes a entre ces équations, ce qui conduit à une relation
f{z,a\,Xi, ...,a'„)=0
qui ne contient pas les p. Cette équation représente, en un certain sens , «-" éléments, savoir, en chacun des oc" points de celle variété à «dimensions, les oc" éléments obtenus, en faisant varier p„ ...,?>« de toutes les manières possibles. Ces éléments satisfont à l'équation (2), puisque les quantités dz, (/x,, ...,rfx,, sont toutes nulles.
II. L'équation (3) provient de n relations analogues à (1). On verra (n" 23) que, dans ce cas, Ion arrive à une équation linéaire.
!II. L'équation provient de (n — I ), (n — 2), ..., 2 relations analogues à{i). On trouve, de cette manière, («— 2) classes d'équations semi-linéaires, si l'on peut ainsi les nommer. Lie annonce qu'il est parvenu à les ramener aux équations linéaires. Nous n'avons pu reconstruire sa démonstration (*). La méthode de Cauchy, telle que nous l'exposons, s'applique directement à ce cas, comme au cas des équations linéaires (comparez n" 109).
IV. L'équation provient d'une seule relation analogue à (l). C'est le cas ordinaire des équations non linéaires.
[Plus simplement, l'équation (o) peut provenir d'une relation de la forme [i") contenant linéairement 1. 7i constantes; II. (n — i) constantes; III. {n — 2), (;t — 3), ... i, constante; ou enfin, IV. pas de constante.]
|15. Des constantes supplémentaires ("). II arrive souvent, dit Jacobi, que les calculs qui servent à trouver une solution complète d'une équation aux dérivées partielles, conduisent naturellement à introduire dans cette solution un nombre de constantes, plus grand que celui des variables indépendantes; et l'on détruit la symétrie des calculs, si l'on pose un certain nombre des constantes supplémentaires égal à zéro. On suppose d'ailleurs que ces
(•) Lie, Z«r rAforie, etc. (Naclirichteu, pp. 486-487).
(**) Jacobi, Vorlesungen , pp. 475-481 , est à peu près le seul auteur qui s'occupe de celle question. 11 la traite d'une manière analytique. Nous avons cru préférable et plus clair d'en dire ici quelques mots, en nous servant des idées fondamentales de Lie.
constantes ne peuvent pas se réduire à un moindre nombre, en prenant pour nouvelles constantes des fonctions des premières. Dans ce cas, au point de vue pratique, le mieux est de considérer les constantes supplémentaires comme des constantes ayant une valeur spéciale, mais quelconque. On en trouvera un exemple, plus bas, dans l'intégration de Véquation de Schlafli (§ 12).
La manière dont Lie envisage la nature des équations aux dérivées partielles permet d'expliquer l'introduction de ces constantes supplémentaires, comme nous allons le faire voir sur un exemple très-simple. Cet exemple nous permettra, en même temps, de faire comprendre comment il peut exister plusieurs intégrales complètes absolument équivalentes, pour une seule et même équation aux dérivées partielles (*).
Trouver une surface dont le plan tangent fasse un angle constant r avec un plan donné. Prenons le plan donné pour plan des xy et une perpendiculaire à ce plan , pour axe des z. L'équation du problème sera :
IdzY (dz-Y 1
H- — -4- — = ouA:- (1)
\dyl Vu! cos^ /•
On trouve aisément que les plans représentés par l'équation
z — c = Ax-\-Bij, [ij
où
satisfont à la question. L'équation (1) représente oo* éléments
faisant un angle r avec le plan des xy, l'équation (2) et celles que
l'on en déduit,
représentent les mêmes œ* éléments.
Si l'on prend, au lieu de l'équation (2), l'équation
(*) Jacobi, Vorlesungen , pp. 491-509, s'occupe de ce sujet, qui n'est pas encore complètemeut élucidé. Voir, plus l)as (§ 32), à propos de la méthode de Lie, quelques-unes des recherches de Mayer, sur lesquelles est basée l'exposition qu'il a donnée de la méthode du géomètre norwégien.
celle équation (5) pourra se réduire à Ja forme (2) , et satisfera à l'équation (1). Mais on peut aussi envisager cette équation (3) et celles que l'on en déduit
comme représentant oc* fois les oc* éléments représentés par (2) et (2). En effet, peur chaque valeur de a et de b, l'équation (5) a la même étendue que l'équation (2).
L'enveloppe des plans représentés par l'équation (5) , quand
est le cône dont l'équation est :
{s~c)* = (k'-i)[(x-a)*-i-(y-by] (4)
Ce cône est une surface qui satisfait à la question. Si l'oo regarde « et 6, comme des constantes arbitraires dans l'équation (4), elle est une solution complète; avec les équations
la relation (4) représente les a: * éléments de l'équation (1). Mais si l'on suppose que c est aussi une constante arbitraire, les équations (4) et (4) représentent une inflnité de fois les mêmes oo* éléments.
En un certain sens , les équations (4) et (4') représentent oo' éléments de l'espace , comme les équations
zp = {k*-i)(x-a}, zq=(k*—i){y-b) (S^
Mais les oc* éléments représentés par (5) et (5) sont tous distincts, et il n'y en a que oc* qui soient représentés par l'équation (1), ceux pour lesquels rf = 0; les éléments représentés par (i) et (4') satisfont tous à l'équation (I), mais ils ne sont pas tous tlistincts; ce sont oo fois les oc* éléments de l'équation (I). En général, toute équation
F(z,ic,,...,x.,a,,... ,a»,a,+j,... ,a.+.) = 0 (6)
(" 30 ) solution d'une équation aux dérivées partielles
f(Z,Xi,...,X„,p^,...,Pn) = 0, (7)
et contenant s constantes supplémentaires, représentera, avec les relations
(X* fois les 00*" éléments de 1 équation (7). Nous supposons, bien entendu, que les relations (6) et (6) transforment l'équation (7) en une identité, sans quoi il n'y aurait pas, dans (6), s constantes supplémentaires , mais seulement un moindre nombre.
En particulier, il y a un cas, où il est toujours facile d'introduire dans une solution complète une constante supplémentaire. C'est celui où la variable z, ou l'une des variable x,, n'entre pas d'une manière explicite dans l'équation donnée. Dans ce cas, il est clair que l'on peut, dans la solution, remplacer, sans inconvénient, z par (z — a), x, par (.r, — a,), a et a, étant des constantes arbitraires, puisque
dz d{z — a) dz dz
dx dx dXi d(Xi — ai)
Les constantes qui accompagnent celles des variables qui n'entrent pas explicitement dans l'équation donnée sont appelées, par les géomètres allemands, constantes additives. Faire varier une de ces constantes équivaut a une translation dans l'espace du système des éléments de l'équation. Il est clair qu'il suflit de trouver une solution avec (n — t) constantes non additives, pour une équation où manquent t variables. Il est facile, en effet, d'en déduire une solution avec n constantes arbitraires, en introduisant f constantes additives.]
