ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
§ 3. ÉtfêtalioH» littéait'c» uhjc dè»'itée» pnt'tiette» n tleiijc rat'iables indépffttdante».
16. Génération de ces équations. Soient m el u deux fonctions
données des variables x,\j^ z, et
') Nous résumons , dans ce premier livre , non-seulement les travaux de Lagraxge et de PFAFF,raais aussi les premiers mémoires de Jacobi, qui relient entre elles les recherches de ces deux géomètres.
('*) La théorie des équations linéaires aux dérivées partielles est due essentiellement à Lagrange, (jui l'a exposée, sous diverses formes, dans les Mémoires de Berlin de 1779 et 1783, dans les Leçons sur la théorie des fondions, leçon 20, et dans la Théorie des fonctions analytiques , ch. XVI de la première partie Sur la vraie portée du procédé d'intégration exposé ici, voir le § 1 du mémoire de Jacobi : Dilucidationes , etc. (Journal de Crelle, t. 25). Au fond, on ne fait qu'établir la connexion qui existe entre la théorie des équations linéaires différentielles simultanées et celles des équations linéaires aux dérivées partielles. Nous nous sommes aidé, dans noire exposition , de celle de Skrbet,. Calcul intégral, pp. 599-608, et de Boole, A treatise, etc., pp. 321-33;), Siippl., pp. 36-69.
une relation quelconque entre ces fonctions. Il existe entre x, y, z et les dérivées partielles
ds dz
^ dx ^ dy
de z par rapport a x et a y, une relation indépendante de la forme de l'équation (1), et linéaire en p et q.
Pour le montrer, dérivons la relation (1) par rapport axelh y; il viendra :
JF (Su Su \ SF (Sv Sv \ Tu[Tx^Szn'^'^[s-a^'^rzP]=''^ SF (Su Su \ SF (Sv Sv \
s^[srj-^Tzl'^-^s^[Ty-^yzV'='-
D'où, en éliminant les dérivées de F par rapport à î< et à v ,
c'est-à-dire
Su Su Su- Su
Sx Sz ^' Sy Sz ^
Sv Sv Sv Sv
Sx'*"Sz^' sij'^Jz^
Su Su
Su Su
Su Su
Sx Sy
Sv Sv
Sz' Jii Sv Sv
Sx' H Sv Sv
Sx' Sy
Sz Sy
Sx ' Sz
OU encore, en employant la notation des déterminants fonctionnels,
pD-L- ^oD-^ = D— —
Nous écrirons cette équation sous la forme abrégée Xp-t- Y9 = Z, ■ . ,
en posant
se, y
IT. Système d'équations différentielles simultanées correspondant à iéquation (2) (*). D'après les propriétés des déterminants, on a :
