T-' -^' TZ

Ji'

Jtf

Jit

Jy'

Jt7

Ja;

ou encore

Sx Sy Sz Sx Sy Sz

Il résulte de ces équations que les relations,

où a et 6 sont des constantes, forment un système intégral des

équations :

dx dy dz

On peut encore énoncer cette remarque sous une autre forme, en disant que les équations

ODt, pour système intégral,

OU encore,

A et B étant de nouvelles constantes arbitraires, et F, et F, désignant des fonctions quelconques. On peut, en effet, déduire les

(*) Noos exposons la roéme chose , à propos des équations à n variables indépendantes, en employant plus encore les délerminauts. Le lectear jugera laquelle de ces deux expositions est préférable.

— dj/-t--rfs =0.

équations (5) des équations (6) ou réciproquement. On peut aussi montrer directement que les différentielles rfFj, d?.^ sont identiquement nulles, quand on suppose l'existence des relations (5) et (4). On déduit, en effet, de F, = A, au moyen de (4) et (5),

^F, (Su Su Su \ «JF, ISv

Su \Sx Sij Sz j Sv [Sx

SF, (Su Su Su \ SF. ISv Sv Sv

Su \Sx Sy Sz J Sv \Sx Sy Sz

c'est-à-dire,

Réciproquement si w = a, r = 6 sont des intégrales distinctes du système (4) où X, Y,Z sont des fonctions quelconques de x,jj,z. c'est-à-dire si les relations (3) existent, toute équation

entre les fonctions u et v, est une solution de l'équation

\p -+- Yg = Z.

On déduit, en effet, de l'équation [i) :

SF Su SF Sv (SF Su JF Sv\ 1 1- » — H = 0

Su Sx Sv Sx \Su Sz Sv Szj

SF Su

Su S y

SF Su SF Sv iSF Su SF Sv\ 1 ■■ I 1 1=0.

Su Sz • Sv Sz

SF Sv /SF Su SF Sv\ ^

Sv Sy \Su Sz Sv Szj

iSF Su SF Sv\

\Sti Sz Sv Sz)

Ajoutons ces trois équations après les avoir multipliées respectivement par X, Y, Z; il viendra :

SF I Su Su Su\ SF I Sv Sv Sv\

..-X i-Y — -4-Z— H X— -t-Y— -f-Z- Ju \ J'o; Sy Szj Sv \ Sx Sy Szj

SF Su SF Sv\

En vertu des équations (5), on déduit de là

Xp-t-Yg = Z,

ie qui démontre le théorème.

Ainsi, l'équation aux dérivées partielles (2) et les équations simultanées (4) se correspondent dune manière remarquable. Deux solutions(6)dela forme (I) de l'équation (2) donnent imméliatement le système intégral des équations (4), et réciproquenent le système intégral (y) des équations (4), conduit immédiatement à une intégrale (1) de l'équation de la forme (2). Nous Jlons voir que toute solution de l'équation (1) est d'ailleurs lécessairemcnt de cette forme, ce qui ramènera complètement a solution des équations de la forme (2) à celle des équations de a forme (4) , et réciproquement.

18. Intégration des équations linéaires aux dérivées partielles fu premier ordre à deux variables indépendantes. Soit

ine solution quelconque de l'équation aux dérivées partielles :

Xp -+- \q = Z.

in aura , d'après le n" 2 ,

^■J; ■Si' -S^

i, d'ailleurs, u = a^ v = b, sont des solutions du système :

dx dy dz 1 vient de voir que

àx Sy ÎJ5

iv Sv ^Sv ^ ^ ^^^

Sx iy Sz

Éliminant X, Y, Z entre ces trois relations, il vient

Sx Sy Sz

Su Su Su

J^' Jy' Jz

Sv Sv Sv

Sx Sy Sz

D'après une propriété des déterminants fonctionnels (*), il résulte de là que <p est une fonction de u et de v, de sorte que toute solution de l'équation donnée est de la forme (**)

F {ti, v) = 0 ;

d'après le numéro précédent, d'ailleurs, toute relation de cette forme est une solution.

19. Détermination de la fonction arbitraire; interprétation géométrique. A cause de la forme arbitraire de la fonction F, on peut imposer à la solution une condition telle que celle-ci : pour X = Xo, il doit exister entre y et z une relation donnée,

Faisons x = aro dans les fonctions u et v, nous aurons, pour cette valeur Xq,

f = Vo(2/,s) (10)

(*) Baltzer . Déterminants, ^\ll\, n" 3, p. 114.

(**) Lagrange n'a démontré celle réciproque que dans son mémoire de 1785. Dans ses aulres écrits sur ce sujet, avant et après 1783, il l'admet tacitement sans la démontrer. La forme que nous donnons à la démonstration est empruntée à BOOLE.

Éliminons y elz entre ces trois relations, et soit

le résultat de Téliraination, de telle sorte que l'on puisse inversement déduire (8) de (9) (10) (il) par élimination de u et v. Il est clair que la relation (il) satisfait à l'équation donnée et à la condition donnée, car, si Ton y fait x = Xq, elle se réduit à (8).

On peut sïmposer des conditions autres que celle que nous venons d'indiquer; pour les énoncer plus facilement, interprétons géométriquement la solution donnée plus haut. L'équation :

Xp + Yf/ = Z (2)

exprime une propriété du plan tangent à la surface^ représentée

par la relation

Celle surface est évidemment engendrée par les courbes dont les équations sont

et qui sont assujetties à la condition exprimée par la relation :

On peut demander que cette surface passe par une courbe donnée parallèle au plan des yz :

x = Xo, iv (y, s) = 0.

I orame nous l'avons fait plus haut, ou par une courbe quelconque, dont les équations sont

ou qu'elle soit tangente à une surface donnée, ou qu'elle satisfasse à telle autre condition géométrique que l'on voudra. Dans chaque cas particulier, du moment que l'on aura la condition analytique (12), on en déduira immédiatement l'équation de la surface. On voit, par là, que la détermination de la forme de F est une question de géométrie analytique à trois dimensions.

20. Exemples. I. Eqiialions des ajlindres (*). Les cylindres dont les génératrices sont parallèles à la droite

X = az -4- a', y ^hz-^b' ,

ont {)Our équation finie :

x — az=<f{y — bz),

et, par suite, pour équation aux dérivées partielles :

ap ■+- bq=:).

Réciproquement ces équations n'appartiennent qu'aux cylindres. La chose est évidente pour la première. La seconde a la première pour intégrale, car le système d'équations simultanées correspondant

dx dij dz

conduit immédiatement à l'équation suivante des génératrices qui sont des droites parallèles à une direction donnée :

X — az^= a', y — bz-= b'.

L'équation aux dérivées partielles des cylindres exprime que le plan tangent est parallèle à la direction des génératrices.

IL Equations des cônes. Les cônes, dont le sommet est le point [a, 6, c), ont pour équation finie :

X — a Iv — b

z — c \z — c et pour équation aux dérivées partielles :

Si le sommet est à l'origine, cette équation prend la forme plus

simple,

z — px-\-qy.

(*) Nous donnons ces exemples élémenlaires pour êlre complet.

On trouve, sans peine, que cette dernière équation, qui exprime que le plan tangent au cône passe par le sommet, appartient exclusivement aux surfaces coniques; autrement dit, que l'équation aux dérivées partielles a pour intégrale l'équation finie donnée plus haut.

111. Équations des tonoïdes. Quand on prend la directrice rectiligne pour axe des z, et le plan directeur pour plan des xy, on trouve pour équation finie des conoïdes :

et pour équation aux dérivées partielles :

px-i-qy=0.

Celle-ci exprime que le plan tangent contient la génératrice qui passe par le point de contact. Lorsqu'on intègre cette équation, on retombe sur l'équation finie, ce qui prouve que l'équation aux dérivées partielles n'appartient qu'aux conoïdes.

IV. Surfaces de révolution. On peut regarder une surface de révolution comme le lieu d'un cercle mobile :

x^ -\-y^ -\- z^ = a, X cos X -i- y cos 2 -k- z cos'y = b ,

dont le plan est perpendiculaire à la direction déterminée par les cosinus cos a,.cos p, cos y, quand on suppose que l'axe de révolution a cette direction et passe par l'origine des coordonnées. L'équation finie des surfaces de révolution est donc :

ar cos a -t- y cos ;3 -♦- s cos y := f (x* -t- y* -4- z*).

Ou tire de là, en dérivant par rapport à x et y, et écrivant en outre une équation identique, pour la symétrie :

cos a -4- p cos y := 2?' . {x ■+■ pz) , cos 3 -♦- g cos y = 2?'. (j/-+-gs), cos y— cosy =if'.{x — *).

D'où, immédiatement

x-i-pz, y-\-qz, z — z cos a, cos/3, cosy

ou, en retranchant la première ligne, multipliée par z, de la seconde :

cos œ , cos j3 , cos y

C'est là l'équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution. On peut encore l'écrire :

p{yco?,y — z cos /B) -4- </ (z cos ^z — x cos y) = a; cos ^3 — y cos a.

On remonte aisément de cette équation à l'équation finie des surfaces de révolution. Pour cela, on doit intégrer le système auxiliaire :

dx dy dz

cos .s , cos y

cos y , cos a

cos a, cos/3

Ces trois rapports sont égaux aux suivants, où les dénominateurs sont nuls et, par suite aussi, les numérateurs :

xdx -4- ydy •

cos adx -4- cos 'My -+- cos ydz

cos a,

cosj3,

cosr

cos a,

cos 3,

cos y

cos a,

cos 3,

cosr

Les relations :

xdx -4- ydy ■+■ zdz = 0 , cos<xdx + cos i3dy -^-cosydz^O , donnent immédiatement les intégrales du système auxiliaire

x^ -h y^ -h z^ = a, a; cos a -t- y cos j3 -4- s cos y = 6 ,

( 41 ) et, par suite, l'intégrale de l'équatiou aux dérivées partielles est :

j cos a -t- y cos S -+- s cos >'= f (a;* -t- y* -t- 3*).

L'équation aux dérivées partielles exprime que les normales, le long d'un parallèle de la surface, rencontrent l'axe de révolution en un même point (*).