V. Trajectoires orthogonales (**). Si

représente, en coordonnées rectangulaires, une série de surfaces correspondant aux diverses valeurs de k, l'équation

JF ^F àF P— -i-q — = —

àX dy ôZ

sera la condition pour qu'une autre surface dont le plan tangent a pour coefficients de direction p, q, — I , lui soit normale. Si l'on élimine k entre les deux équations précédentes, l'équation résultante sera l'équation aux dérivées partielles des trajectoires orthogonales de la surface donnée. Cette équation, comme on le voit, sera du premier ordre.

Comme exemple, considérons les ellipsoïdes,

L'équation aux dérivées partielles des trajectoires orthogonales

sera

(*) C'esl Mo>GE, si nous ne nous trompons, qui a donné le premier les équations aux dérivées partielles des diverses sortes de surfaces. Voir ses Feuilles d Analyse appliquée à la géométrie , à l'usage de VÉcole polytechnique, publiées la première année de cette école {an III de la République), i, 5 et 6 et tous les traités de calcul inllnitésimal. ") Lagrange, Mémoires de Berlin, 178.0, p. 189, n» 16.

( 42 ) On trouve immédiatement pour iulégrale

2t. De quelques équations que Von peut rendre linéaires (*). I. Soit, en premier lieu, l'équation :

xfx{p,q,z~px-qy)-^yf^{p,q,z-px-qij)^f^{p,q,z-px-qy) = (i.

Posant :

u^z — px — qij , on aura :

du = — xdp — ydq;

et, par suite, si l'on prend, p et q pour variables indépendantes :

du du

Par conséquent, l'équation devient :

^" . / . du ,

-r A (p, 9- w) -H — h ip, q, M) = /s p. g, ")•

dp dq

Celle-ci étant linéaire, on pourra en trouver l'intégrale. On tirera de cette intégrale les valeurs des dérivées par rapport a p et à q; on les égalera à ac et à y; puis , entre les équations ainsi obtenues, et u = {z — px — qy) , on éliminera m , p et q.

(*) Lagrange, Mémoires de Berlin, 1774, Œuvres, t. IV, n» S3, p. 83; Lacroix, t. II, p. 558,1. III,p. 708. Chasles, Rapport sur les progrès de la géométrie^ pp. 90-91, Paris, 1870, indique divers travaux sur les équations de ce genre, en en attribuant la découverte à Monge. Voir, en outre, une note de M. Orloff, Bulletins de Bruxelles, 2» série, t. XXXIII, pp. 113-122, puis Lie, Mathematische Annalen, t. V, p. 159, qui en donne une interprétation, au point de vue de la géométrie moderne. On appelle souvent transformation de Legendre, la transformation effectuée ici. [Plucker s'occupe de l'interprétation géométrique de la tranformation de Legendre, dans ses Analytischgeometrische Enlwickelungen (Essen, 1831), p. 265, et dans le Journal de Crelle, t. IX, pp. 124-134.]

Celte méthode se simplifie dans le cas de Téquation de Clairaiit, déjà étudiée plus haut (n" 9)

z = px'i-qij-hf{p,q),

qui conduit, non à une équation aux dérivées partielles, mais à

réquaîion

u = f{p,q). On lera,

P=«, 7 = fc, t, = f{a,b), ce qui donnera

rf« = 0, f//) = 0, f/g=0.

Par conséquent, la relation du = — xdp — ydq sera vérifiée. On trouvera dailleurs pour intégrale complète

z =: ax -\- by ■+■ f (a, 6).