II. Soit, en second lieu, léquation

•rfi {y, p,z-px) = qf^ {y,p, z — px)- f^ {y, p, z — px).

On posera :

u = s — px'^ d'où

du =qdy — xdp,

du du 'dy~^' d^^~'^'

L'équation donnée deviendra :

d« , , du

et lintégration s'achèvera comme dans le cas précédent. En particulier, si l'on a,

z-px = f{y,p)

on trouve, pour équation transformée :

On fera

et pour déterminer z, quel que soit -f, l'on aura la relation

zz=xfy-i-f{y,fy),

comme on le savait d'avance, puisque y joue, dans l'équation donnée, le rôle d'une constante.

§ 6. Équations Hnéairea aux dét'ivées partielles contenattl ttn nontbfe quelconque tie variable» .

%%. Génération de ces équations, d'après Lagrangc. Soient Wj, W2J..., M„j w fonctions données des variables z,x,,X2, ...,a:„,et

une relation quelconque entre ces fonctions. 11 existe entre z, Xi,... , x„ et les dérivées partielles

dz

dz

de z par rapport k x ethy, une relation indépendante de la forme de l'équation (1) et linéaire en /),, ... , p„.

Pour le montrer, dérivons la relation ( 1 ) par rap{)ort à x, , Xa, ...,x„. Il viendra :

JF /<?w, Su. \ S¥ ISUn SUn \ 1 -Pn\ H 1 1 Vn] =0.

SUy \$Xn Sz ^ / Ju„ \SXn Sz I

D'où, en éliminant les dérivées de F par rapport à î^i, m^, ..., ï<„ :

Su^

Su,

Su„

Su„

Pli"

Pi

è'Xi

Sz

Sx,

Sz

Su,

Su,

Su,,

Su,

Pa,..

Sz

■ Sx^

Sz

Su, Su, Su,i Su,,

SXn Sz SXn Sz

ou

en posant :

Z='XiP,-HX2PiH l-X„p„,.