II., Uj,... ,«« -. jx

Wi,«î,

Ul,U2,

Wj,M2, .. ,w,,

L'équation (2) peut facilement se mettre sous la forme d'un déterminant, contenant une colonne et une ligne de plus que le précédent :

J"Wj

Ju,

(^Wj

Ja^i

<ya;i

Enfin, si l'on suppose la relation (1) mise sous la forme

à{z,Xi,œ^,...,Xn) = fi

de façon que

les équations (2) et (2), transformées d'après le n° 2, deviendront

^- ' SXi SXn

Sz ?Z oZ vZ

Jj;, J'jj -Jo-, ' " " ' <5'a7i

iXn SXn SXn"''SXn

ou y , u,,tt,, . .. , u,,

'j . Xi . X9 > . • . . x„

Cette relation s'obtient en éliminant dz, f/xj, dx^^...,dx„, entre les équations d^ = {), dui = 0, ... , du„ = 0 (*).

28. [Génération des équations linéaires d'après Lie. D'après ee que l'on a vu plus haut {n° 15), on devra éliminer «1, aj, ..., «„, A,, À2J •••» ^n-n entre les équations

"1 — «1 = 0; Mj — 02 = 0, .,., t«„ — a„ = 0,

$F JF J'F <JF <?F JF

iJa?! dS àX^ àZ èXn ?Z

où

F = >i (Mi — a,) H- >2 (Wj — «s) h H an-4 («n-^i — a„-i) -H t/„ — a,,.

Les constantes a disparaissant d'elles-mêmes, on est donc ramené à éliminer les quantités l entre les équations:

(du. du.\ [ (lu„ du„\

>i — - -^Pi — -] ^ ^- *-Pi-;— =0,

' \dx^ ^' dz I \dx^ " dz I

(dUi daA Idu^ ^ duA

* \dXn " dz I \dx,^ " dz )

ee qui conduit à la même équation que la méthode de Lagrange.]

24. Système d'équations différentielles simultanées correspondant à V équation {'i). D'après les propriétés des déterminants, si l'on remplace dans l'équation (4"), 41 par t/,, u^, ... ou w„, elle sera encore vérifiée, c'est-à-dire que l'on a :

Su. Su, Su,

Sz Sx^ dx,,

Su. Su, Su.,

Sz SXf Sx„

Su„ Su„ Su,, Z-3r^-HX.--^-+---+-X '' = 0 (3„)

Sz SXi SXn

(*) BooLE , Supp^emeni, p. 63, déduit l'équation (4') de celle remarque, au lieu de faire l'inverse, mais cela ne nous semble pas permis.

les équations expriment, non-seulement que les équations

Mj = a,, «j = a,, ..,w„ = a„, (6)

ont, chacune prise à part, une intégrale de l'équation (2), ce ue nous savions déjà, puisque la forme de F est arbitraire, mais ussi que, prises ensemble, elles constituent le système intégral les équations simultanées :

dz dx^ dx.2 dx„

Si l'on multiplie (S,) par|J-,(Oi) par g-,..., (o„) par g^, es multiplicateurs étant les dérivées partielles d'une fonction if,, j<25 -5 ^'n). et si l'on ajoute les résultats, il vient

Z-t-X, ^- H hX„-— =0.

dz (/X, dXn

1 résulte de là que l'on peut encore prendre, pour système inté- ;ral des équations (7), n relations distinctes de la forme :

t, en effet, on peut déduire de celles-ci les relations (3). De plus, es équations (8) étant de la forme (l), satisfont à l'équation (2). )n voit donc qu'il y a une correspondance exacte entre les équaions (2) et (7), ce qui lie étroitement les solutions de celles-ci à a solution de celle-là et réciproquement.

On peut établir directement cette correspondance entre les équaions \^1) et (7) (;orame suit. Supposons que Z, X,, ... X„ soient des onctions quelconques de z, Xj, ...x„, et soient

les intégrales distinctes des équations

ip " f/3 f te, (/a^ dXn^

L Xj Xj X„

le dis que la relation

où F désigne une fonction quelconque, est une solution de l'équation