X, --H hX

dz ?Xi àx„ 1

Je dis que toute solution de l'équation

Z = PiX, -H j)jXj H hp„X„ (2)

sera de la forme

Soit, en effet,

<f>(Z,X^,...,Xn) = 0

celte solution. On aura, d'après le n» 2,

Sa Sô Sa

En éliminant Z, X,, ... , X, entre les équations (5) et (9), il vient pt^"— '"" = 0,

équation équivalente à (1), d'après les propriétés des déterminants fonctionnels.

*6. Détermination de la fonction arbitraire. Supposons que l'on demande de déterminer la forme de la fonction F de manière

que, pour x, = x.o, on ait, entre z, x,, x, x,, , une relation

de la forme

F,(z,a;„ar,,...,a;,i) (10)

(Il;

( SO ) On fera x„ = x„o dans les valeurs des u et l'on aura ainsi

Un = Uno (*•> ''n •''2 > ■ • • ) '^n — lj

Soit

le résultat de l'élimination de z, a:,, x^, ...,r„^i entre les équations (10) et (H), rfe sorte que réciproquement r éliminât ion de Uj, ... , u„, entre les équations (M) et{i'i) donne V équation (10). En faisant ar„ = a:„o dans (12), on trouvera, entre z, Xj, ..., jc„__i, cette relation (10).

On peut s'imposer des conditions autres que celle que nonvenons d'indiquer, et il est facile de montrer comment on y satisfait, en interprétant les résultats précédents, au moyen du langage symbolique actuellement adopté et relatif à un espace à (« -t- \) dimensions.

L'équation

exprime une propriété de la variété linéaire à n dimensions, qui a un contact du premier ordre avec la variété à n dimensions,

Celle-ci est évidemment engendrée par les variétés à une dimension

"i = «i5 Mj = 02, ...,w„ = a„, (lô)

soumises à la condition analytique :

F(ai,flj,...,fl„)= 0

Cette condition analytique peut résulter de conditions géométriques. Si la variété F =0 doit passer, par exemple, par la variété à {n — 1) dimensions déterminée par les équations

Vj = 0, rj = 0, (li)

aux points communs à la variété génératrice (i3) et à la variété

directrice (14), les valeurs des (n-t-d ) coordonnées r, x,, ar^, ... , jc„ devront être identiques. On trouvera donc la condition

F(fl.,fl,,...,a„) = 0

en éliminant ces coordonnées entre les équations (13) et (14).

Supposons encore que la variété F doive avoir une variété linéaire à n dimensions , tangente commune avec une variété à

n dimensions donnée :

Le long de la variété de contact, les valeurs des quantités p seront communes à F et F,. On aura donc :

dF, dT, dF,

'IZ dJ", dj,,

Les équations (15) et (16) donnent la variété de contact à (n — 1) dimensions. On éliminera z, x,, x^, ... , x„ entre les équations (15) (13) (16) et on trouvera encore la condition F (a,, a,, ... , o,) = 0(*).