Exemples. I. « Soit proposée l'équation entre quatre

variables

dz dz dz

{y -\- t -^ z) — -\- {x -^ t -\- z) — -^ {X + y -k- z) -—= X -\- y -^ t. . dx ay dt

On aura à intégrer ces trois équations particuiières :

rfy dar=:0,

dl dx=0,

x-^ti-\-t

dz dx=Q,

(•) Les auteurs se sont Iwrnés, jusqu'à présent, à la recherche de F dans le cas où l'on se donne la condilion (10) , ce qui esl naturel, puisque l'idée d'une géomélrie à (n-t- 1) dimensions esl toute récente. Cependant Cacchv, vers la fin du mémoire que nous analysons plus bas (li\Te III, cb. I), s'impose des conditions un peu plus générales que (10). Les recherches de Lie, qui sont la continuation naturelle de celles de Cacchy, reposent essentiellement sur la .géométrie à (n -t- 1) dimensions. [Comparez la note du n» 4, p. 6.]

( S2 ) et pour cet effet, j'en tire d'abord celles-ci :

cly — dx = dx

QQ l

dt — dx = dx,

dz — dx = dœ,

dx + dy -i- dl -\- dz = — dx,

y -hl^-z

d'où éliminant ^^^., j'ai trois équations intégrables, et dont les

intégrales seront

{y — x)^{x-\-y-^t-hz)=^(x,

{t — 37)5 (a; -+- î/ -H < -t- s) = p, {z — xf [x -\-y -^ t -^ z) = 'y ;

de là, on aura pour l'intégrale de la proposée a = y (/3, r) » (Lagrange) (*).

Supposons que pour a; = 0, on ait

On devra éliminer t, y, z entre cette équation et les suivantes :

yHy-^t-^z) = x,

On trouve d'abord, en ajoutant ces trois relations :

a -t- /3 -4- y= y^z-^-t, puis ,

En substituant ces valeurs dans la dernière équation , on trouve l'équation de condition suivante :

(œ t- |3 -4- y )* î = «"» -H |3V=» -H r '" ; (*) Mémoires de Berlin, 1779, pp. 153-136.

( 53 ) d'où pour l'intégrale :

L cr + y+c + Z J