II. L'équation
mz = fX -H Pi^i H H />„x„
conduit au système auxiliaire
dz dx rfj, dx„
dont les intégrales sont :
: a-, ar„
L'intégrale de 1 équation donnée est donc :
ce qui prouve que les fonctiotis homogènes jouissent seules de la propriété exprimée par l'équation aux dérivées partielles
»j5 = pj-f-p,a:, H \-p„a!„{'').
IIL Soit à intégrer l'équation (**)
(Xj — X^\„)p^ H- (Xj — XjXj Pj H H (X, i - a?,|X„) p, |= 1,
n Lacroix, t. II, n» 736, p. 543.
(•*) C'est à peu près l"équation étudiée par Hesse dans le mémoire intitulé: De inlegratione aequationis differenlialis partialis
A|— Aj- As- A,,--
3*, yxj ^Xa— I
9x, 9x, 9zi )
3Xi axj 9x.-i )
designantibiis Kl, A^, ..., \n funclioties quaslibet vahabilium Xi) x^, ..., x»i Uneares (Journal de Crelle, t. XXV, pp. 171-177). Hesse cite un travail antérieur sur l'équation différentielle correspondant à n = 3, dû à Jacobi et auquel il a emprunté sa méthode d'intégration. Voir aussi Sehret, Calcul intégral, pp. 425-433, [et Focret, C. R., t. LXXVIII, pp. 831 , 1693, 1837.]
( 54 ) où les fonctions X sont définies par I équation ;
Xî := anXi -f- (tiiXi -1 -4- fl,-, M - I iCn - 1 -4- G, , „
Les équations auxiliaires seront :
dz dXi dx^ dx„-\
1 X, — iTiX,, Xj — a-jX,, X„i — a;,, iX„
ou encore :
''•^'-X -x\ — — — Aj aiA„,
dz
■ Aj J/jA,,,
dz
dx„-,
= X„i — Xn-l\n.
d Posons, avec H esse,
**' 1 j îî'g ■ î • • • ; «^H — 1 '
y,, Vn Vn
y„ étant une fonction encore indéterminée. On aura :
dx^ 1 diji tji d[in dxn-i 1 d//„i y,.-» di/„
dz ~ Un dz yl dz' ' dz y,, dz ]]l dz '
et, par suite, le système auxiliaire sera, après multiplication par ?/„,
-, X,2/i = — — \„yn
dz yn \dz
dy»~i ^ y»-i /drj,,
dz y,, \ dz
Déterminons y„ par la condition
dy„
et posons en général :
Y = X„i/„ = a,?/i -+- ajji -\ h- a„î/„ .
Le système auxiliaire deviendra :
dz " dz "■■■' d3
On intègre facilement ces équations par la méthode des proiuits symboliques de Brissox et Cauchy (*). Si D indique une dé- •ivation par rapport à z, chacune des équations précédentes jourra s'écrire :
Oin2/n = 0.
L'élimination de toutes les fonctions à déterminer, sauf une quelconque, conduit, comme l'on sait, à une seule équation linéaire l'ordre n :
«U— ^' «li' °13' •••) «»«
'31, «32. «s- - D, ..., Osn ^^
,.., ch,„ — D
3n déduit de là, pour les fonctions y, des expressions de la forme :
!/n = Ci^,,! -+- f j2»î ^ h c„z„
;,, Cj,..., c„ étant des constantes, ^uj.-.'n»? des fonctions de* jni, dans le cas général, ne diffèrent que par des facteurs cousants, pour deux fonctions y.
On tire des valeurs précédentes
Vn ^CiZni
i/„i 2ciZ
Ic.z^
Iaccht, Exercices de mathématiques, t. II, pp. 159 et suiv. : Sur l'anades puissances et des différences. [Voir aussi notre petit Mémoire : Noie iur la première méthode de Brisson pour l'intégration des équations aux iifférences finies ou infiniment petites. Mém. couronnés et autres mémoires in-8» de l'Académie royale de Belgique, t. XXII.]
On aura l'intégrale de l'équation donnée, en éliminant les {n — 1 ) constantes
Cn Cn Cn
entre ces équations et la relation quelconque
[Au point de vue de Lie, les équations qui donnent les valeurs des {n — 4) quantités x, constituent l'intégrale complète de l'équation donnée.]
28. De quelques équatmis que l'on peut rendre linéaires {"). I. Soit l'équation
Xifi = Pih -+- Pî/s ^ ^- Pnfn — /"»
chacune des fonctions /"étant de la forme
/ (2 Pi.Xi.i Ptl "^l-i ••• ) <^n)«
Nous poserons, comme au n" 21 :
u-=.z — p^Xi .
On déduira de là :
du = — x^dpi -+- Psj(tej H h PndXn ,
et, en prenant pour nouvelles variables p,, ar^, ... , a;,. : du du du
~ — ^ — ^1 ) ~ = Pj » • • • » — = Pn '
dpi dx^ dXn
L'équation donnée deviendra
du du du
' dpi ^ dx^ " dXn
d'oiil'on tirera aisément l'intégrale de l'équation donnée (voir n" 2 1 ).
(*) Lagrange, Méni. de Berlin, 1779, t. IV, n"' 8 et 9, p. 632. L'équation donnée et la transformée ont été appelées réciproques. Voir la note du n" 21.
( 57 ) II. Soit l'équation :
•r/i -t- ^ifi = Pjs -• ^ Pnfn — A
chacune des fonctions f étant de la forme : /■(«,Pi,Pî.-rs,---,a;„),
et u étant donné par la relation :
« = :: — PiJ, — p^j.
On aura :
du = — J,dp, — J-jdPî -+- Ih'i'^ô -< ^ Pn*Pn >
dw du du du
dp, dpj OJ^S «Jn
L'équation donnée deviendra encore linéaire :
du du du du
dpi dpi dXs dXn
III. Et ainsi de suite. On doit, en particulier, noter l'équation
xJi -^- i"/* H »- -^nf,. -+-/■= 0,
chacune des fonctions /"étant de la forme :
fiz — p^œ^ -p„a:„,p,, ...,p„).
En posant :
U = Z—p^X^ PnXn,
on trouvera :
du = — J-,dp, — JCidpi ir„dp„,
du du du
dpi '" f/Pi ^'"" dp„
et l'équation transformée sera :
du du du
Ainsi, l'équation déjà étudiée plus haut (n» il)
z=p,,riH Kp„j-„-+-/"(p,,Pj,...,p„),
devient de celle manière
U = f{Px.Pt,--:Pn)-
En posant
on a :
et par suite
du := 0, dpi = 0 , . . , rfp„ = 0,
dît = — CCidp^ — Xndpn-
On trouve ainsi l'intégrale complète
z = a^x^ H h anX,, + /"(a, , Oj , . . . , a„)
§ 7. Mntégi'uHon d'un syalètnB reittaè'quable d^équalion» Huéait'ea aux déi'itiéea pat'IieUea du premier ordre (*).
29. Génération du système de ces équations. Soit (N -h 1 ) = (m -+- w), et considérons N fonctions Ui, Vi,..., u^ de (m -h «) variables,
liées entre elles par m équations :
F,(u,,W2,...,Us) = 0, (1,)
F,„(Ui,M2,...,Mn) = 0 (In)
Nous allons montrer qu'il existe entre les dérivées des variables z, par rapport aux variables x, des relations remarquables indépendantes de la forme des fonctions F.
Considérons , pour cela , le déterminant fonctionnel
Sj , ... , Z„j , d/] , ... , X,i
(*) Jacobi (Journal de Crelle, l. Il, pp. 321-323). On ne comprend pas pourquoi les traités de calcul intégral, publiés depuis l'époque (1827) ou il a donné cette extension des recherches de Lagrange, ne font aucune mention de ce complément indispensable de toute théorie des équations linéaires aux dérivées partielles. Nous abrégeons l'exposition de Jacobi, sans la modifier, par l'emploi des déterminants fonctionnels.
ù entre lune quelconque des fonctions F. Comme la fonction F épend des fondions u , ce déterminant sera nul. Donc
ciF f/F f/F f/F
Z, — H hZ„, -— -t-Xi— -H hX„-— =0,. . . 3)
dz^ dz,„ rfo-, dXn
Q appelant Z,, ..., Z„, X,, ..., X„, les déterminants mineurs de , de sorte que
Xi = (— 1 )"•+•-' D
'équation (3) est équivalente aux m équations :
^ dF, ^ dV\ dF, „ dPi „
Z *-+... .-t-Z„,-—î- +X,-^ + •■-+- X„—^=0, . . (5,) d3, a^,„ dXi dx„
^ dF,„ ^ dF„, dF,„ dF,„ „
Z "' + ... -+-Z„.-^-+-X,—^-+--..-j-X„—^=0. . .(3„) dz^ dz-m do-, dXn
însidérons maintenant le déterminant fonctionnel
^F.,...,F„ dF, dF dF. dF,
-;i,...,s,„ da, dz, ds^ dz^
■1 les Â,i désignent des mineurs dont la valeur est donnée par la •nnule
Au = {- 1)'+*D '^»>-vF.-.,Fh-.,...,F„.
n aura donc
dF, ^ dF, A,i- — hAji— --t- •• = 0 , dSj dZj
, dF, dF,
A,,-— -+-A„- j--=0, etc.
d-î dSj
Multiplions les équations (5) respectivement par A,, , A», , ... , A „, , ois par A,,, Aj,, ■-, A,„î, etc., et ajoutons, il viendra :
Z,A-t-2X.(A.,^-*---hA.„, -^) =0, (4.)
1 \ dXi dXi)
Il est facile de simplifier ces relations. On a, pour chaque va
riable x,
(IF, dF^ds^ dF, dz^
clx dz, dx dz„ dx '
dF„, dF,„ ds, dF,„ dz,„
dx dZi dx dz,„ dx
Multiplions ces relations par
et ajoutons, elles donneront
. rff"i . d¥„, dzi
A,|— 1 V-Aim h A — = 0 (oj
dx dx dx
A cause de cette équation (5), les équations (4) prennent la forme très-simple découverte par Jacobi :
Z, = X,^-4-xA-+- ■•-^X„i^, (6.)
dx-i dx^ dXn
dx, dx^ dXn
30. [Démonstration directe des formules (6). Voici une démonstration directe des m formules (6), qui n'a pas été remarquée encore, croyons-nous. Le déterminant fonctionnel
est nul, parce que les (m -4- 7i) fonctions iii,... , Wj, et s,, des variables Zi, ..-., z^, Xi, ..., x„ ne sont pas indépendantes, puisqu'il existe entre elles m relations (1). L'équation, qui exprime cette dépendance, savoir
est précisément l'équation (64).]
Si l'on remplace les A, par leur valeur, dans chacune des équations (4), on arrive à une formule remarquable de la théorie des déterminants fonctionnels. Elle exprime la même chose que l'équation 8^ = 0, mais les relations entre les z et les «, suppo-
CL? explicites dans celte dernière, sont supposées sous forme iiiplicite dans la formule dont nous parlons. Nous croyons inutile le récrire.
31. lîitégration du système {6). Si dans le système (6), Z,,...,Z„, V,. ...,X„, sont des fonctions quelconques, pour intégrer ce sysinie, on cherchera d'abord les N intégrales
«l = Cl . «j = Oj , . . . , «s = fls ,
les équations
dSi dz„, dx^ dx„
Toute fonction F des quantités u satisfera aux équations (5) et par suite égalée à 0, aux équations (6). On pourra donc prendre pour système intégral des équations (6), m relations de la forme F^O. Réciproquement toute équation
qui satisfait avec (m — \) autres, au système donné (6), est de la
forme (I).
En effet, on aura :
Sa Sa dz. S'il dz„ 1. 4 L i + ... j L — 0
Sx^ Szi dXi Sz„ dx^ '
Sp Si dZi Si dZm
SX„ <?ï, dXn Sz„ dXn
Multiplions ces équations par X,, Xf, ..., X„, et ajoutons les produits. Il viendra, en tenant compte des équations (6) :
Si Si Si Si Si Si
SZt Sz^ Sz„ 'JJ-, c»J, SXn
Cette équation donne, avec les équations (3), où Ton fait
«• ;' = F(«„u,,...,ur),
"" lu'il fallait démontrer (*).
'; Cette réciproque n'est pas donnée par Jacobi.
32. Conclusion générale. Il résulte, des théorèmes démontrés dans ce chapitre, que la solution d'un système:
au moyen de (A; — \) relations :
Y,, Y2, ..., M,, W2, ... étant des fonctions de ?/, , ^2, ..., entraîne celle des systèmes d'équations suivants :
dv„
Y^'^-i-etc,
'rfy*
-+-\,-^-t-etc.;
c'y* dy^
T ' ,• dij. du,
^^4 dy^
Y —Y Jh-^x ^^^
«yi-i di/k
Y —V ^^« i v ^'!'^ Yj =^A)- I-ÏA-— ,
d!/i-i dijk
Y —Y ^I-lLll^v ^^^*-
dyk-i 'y — y ^^»
dyt
Y, =Yx
Ya,=Y*
dyi '
dyk-i dyk '
dont le premier est réduit à une équation, et dont le dernier est le système (A) lui-même. La solution d'un quelconque des systèmes (B) se eompose d'autant de relations distinctes, de la forme
FK,....Ui) = 0, quil y a d'équations dans le système.
