CHAPITRE II
MÉTHODE DE LAGRANGE POUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES A TROIS VARIARLES ET DE QUEL- QUES ÉQUATIONS CONTENANT UN PLUS GRA>'D NOMRRE DE VA- RIABLES Ç).
§ 8. Mdé« fféttêÊ'al^ «fe la tNéMo<fe «f« ÊMffrangv.
Z9. Idée générale de la méthode de Lagrange. Soit
/^(^,y,5,P,9) = 0, ou </ = x(a?,y,2,p), (1)
(*) Lagrange (Mémoires de Berlin, 1772, Œuvres, i. III, pp. 549-577) a ramené l'intégration des équations quelconques du premier ordre à trois variables, à celles des équations linéaires aux dérivées partielles à quatre variables et aussi du premier ordre. Il a réduit , comme on l'a vu dans le chapitre I", l'intégration de celles-ci à celle des équations différentielles ordinaires, en 1779 ; cependant en 1785, il ne voyait pas encore clairement qu'il résulte de là que l'inlégralion des équations aux dérivées partielles quelconques à trois variables est ramenée à celle des équations différentielles ordinaires, car dans son Mémoire de cette année, p. 188, il déclare ne pouvoir achever l'intégration d'une équation non linéaire. C'est Cbarpit qui a montré, le premier, en 1784, dans un mémoire qui na jamais élé publié, la connexion de ces trois questions : intégration des équations différentielles ordinaires, intégration des équations linéaires aux dérivées partielles, et intégration des équations non linéaires aux dérivées partielles. .Nous empruntons ces remarques à Lacroix, I- II, n« 740, p. 548, et Jacobi (Journal de Crelle, t. XXIII , p. 3).
(64) l'équation donnée. Remplaçons q par sa valeur dans
dz = jxlx -i- qdy; (2j
il viendra
dz = pdx-hK{x,y,z,p)d!j (ôj
La méthode de Lagrange, sous sa première forme, consiste à chercher, en général par tâtonnement, une valeur de p contenant une constante arbitraire a et rendant l'équation différentielle totale (5) intégrable; puis à en déduire z avec une seconde constante arbitraire b.
Autrement dit encore, et sous une forme plus générale, on doit chercher une relation autre que (1) entre x, y, z, p, q, contenant une constante arbitraire, et telle que les valeurs de p et q qu'on déduit de cette relation et de (1), rendent l'équation (2) intégrable (*).
La méthode s'étend sans peine à un nombre quelconque de variables. Soit
f{Z,Xi,...,Xn,pi,...,Pn) = ^, OU Pn = ^{Z,Xi,...,X„,Pi,...,p„-0, {V)
l'équation donnée. Remplaçons p„ par sa valeur dans
dz = pidXi -4- p^dx^ H j- pndx„ ; (2'j
il viendra
dz = PidXi -+- p^dx^ H h rdx„ (ô')
11 faudra trouver pour pi, p^, .-., p„^i des valeurs contenant chacune une constante arbitraire et rendant (5') intégrable. Plus généralement, il faut trouver (n — 1) relations contenant chacune (n — i) constantes arbitraires et donnant, avec (4), pour ;ji, p^, --ipn, des valeurs qui permettent d'intégrer l'équation (2'). Telle est la méthode de Lagrange, sous sa forme la plus générale. Nous allons montrer, sur quelques exemples, que l'on peut déjà, au moyen des indications qui précèdent, intégrer des équations assez compliquées.
(*) Lagrange, dans son premier mémoire, a indiqué la méthode générale pour trouver cette seconde relation, mais sans pouvoir la faire aboutir en général, puisqu'il ne possédait pas alors l'intégration des équations linéaires.
{ 65) 34. Exemples. I. Soit à intégrer les équations (*) :
2» q = x ip, y).
)n aura
dz = pdx -t- xpdy, dz = pdx -+- x [p, y) dy,
iquations immédiatement intégrables si on fait p=a.On trouve es intégrales complètes :
z = ax -hb-+- xay,
z = aj -4- 6 -t-^ {a, y) dy.
En appliquant ce procédé d'intégration aux équations :
pq=l,
p =qy + q'-,
on trouve les intégrales complètes :
z = ax-+- 6 H — ' a
z = ax -i- b-i-
\/m* —l — a* z=:ax-¥- h zt
t±i^yy^^^ai(,^v7^
La seconde de ces équations répond au problème suivant : « Trouver tes surfaces dont l'aire, pour une portion quelconque, est à sa projection sur le plan des xy, dans le rapport m : 1 ; ou encore : Trouver les surfaces dont les normales soient parallèles aux génératrices d'un cône droit (Comp. n" 15). II. Soit à intégrer : 1» L équation (**)
(*) Lagrange, Mémoires de Berlin, 1772, 1", â"» et S™» cas ; Œuvres, I. Ill,pp. 5o8-o60.
(**) LaGrange, Mémoires de Berlin, 1772, 4'n« cas, Œuvres, t. III, p. 561; Mémoires de Berlin , 1774, n» 50, Œuvres, t. IV, p. 80.
On posera
On en déduira :
d'où
dz = f^ {x, a)dx-\-f^ {y, a) dy,
s=J?i(x,a)dx-^J'f^(y,a)dy-hb.
2° Soit de même à intégrer (*)
F (A, A, ...,/■„) = 0, où
fi = fi{Xi,PifZ).
Il suffira de poser
F(o,,as,...,a„) = 0
pour pouvoir déterminer, pif en fonction de x,,pif en fonction de Xi, ... , de manière que
dz = PidXi H i-p„dx„
deviendra intégrable après multiplication par -f.
On peut rattacher à ces deux exemples la méthode dite par séparation des variables ; on la trouvera plus bas (§ 19, n" 72).
