IV. Soit enfin l'équation
9 = f/"xAxx/",y x/ss.
«eus poserons
p = Fjx . F,s,
'i cl F, étant des fonctions encore indéterminées. On aura
(/= = F,x . F^ . dx -♦- (F,x)- . f,x X /;y X (F^)- . f^sdy.
(*) Lacka.ngr, Mémoires de Berlin , 1772, 9">« cas, l. III , p. 369.
{ 68 ) Si l'on détermine F, et F2 par les relations
il vient :
dz adx
qui est immédiatement intégrable.
On trouve la même solution, par la méthode dite de séparation des variables (voir plus bas, § 19, n" 72).
§ 9. Mèlhode de Eiagt'aêtge poui' Vittiègvation de» équalions auae défilée* pai'Hellea A tt'oia variable» (*).
35. Cas où l'équation ne contient pas la variable dépendante.
Soit
f{i^-y,P,q) = ^, ou q = K{x,y,p) (1)
l'équation donnée. On sait que
dz = pdx ■+■ qdy (2)
Si l'on connaissait les valeurs de p et de q en x et y, on devrait avoir
dy dx
et l'équation (I) pour ces valeurs deviendrait une identité. On a
donc :
dq Sx Sk dp ,,
dx Sx Sp dx
Sf Sf dp Sf dq „
Sx Sp dx Sq dx
Éliminons ~ de la relation (4) ou de la relation (4'), au moyeu
(*) Outre los écrits cités au commencement du § 7, voir Jacobi, Vorksiingen uber Dynamik, leçon 22, pp. 108-173.
ir-
de (5); nous trouverons que p doit satisfaire à l'une des équations linéaires équivalentes :
dp ^x àx dp -«.
dy àx dp dx
•ix dp dx ëq dij
Réciproquement, si l'on connaît une solution des équations (o) ou (5), la valeur de p donnée par cette solution, et la valeur correspondante de q donnée par (1), rendent dz intégrable, ou satisfont à réquation (3). En effet, des équations (1), (o) ou (I), (5) on déduit l'équation (3).
Ainsi, on trouvera toutes les solutions de l'équation (4), en cherchant toutes les valeurs de p, qui satisfont à l'équation (o) ou à l'équation (5), puis au moyen de (1), toutes les valeurs correspondantes de ^, et intégrant l'équation (2). En général, il vaudra mieux se contenter de chercher une valeur de p contenant une constante arbitraire a, et satisfaisant à (3'), puis la valeur correspondante de q, et enfin intégrer (3) ; on arrivera ainsi à une solution de l'équation [\) qui contiendra deux constantes arbitraires, et qui sera une intégrale complète.
L intégrale de l'équation (1) peut être trouvée, par des calculs plus symétriques, si l'on cherche une-seconde relation
entre x, y, p, q, qui serve à déterminer p el q avec (1) de la manière suivante. On a alors
df Sf dp Sf dq àf df dp 3f dq
dX dp dx èq dx ày dp dy Sq dy
dx ?p dx dq dx ' dy Sp dy Sq dy
Éliminant, au moyen de la théorie des déterminants,
dp dq dp dq dx dx dy dy
( 70 ) entre ces équations et l'équation (5) , il viendra :
ou
Sx Sp Sp Sx Sy Sq Sq Sy
