Cas général. Soit maintenant l'équation

f{x,y,z.p,q) = 0, ou q = x(x,y,z,p) (7);

On sait que

clz = pdx-+-q(ly (2)

Si l'on connaissait une seconde relation

entre x, y, z, p, q, on pourrait déduire, de cette équation et de l'équation donnée, les valeurs de p et de q, et en substituant ces valeurs dans l'équation (2), celle-ci deviendrait immédiatement intégrable. On devra donc avoir

dy dx

Ty-^-i'=rx-^-à' (')

pour toute relation (8) correspondant à une solution de (7).

Supposons que l'on substitue dans l'équation (7) les valeurs de p el de q en X, y, z, déduites de cette équation (7) et de l'équation (8); l'équation (7) deviendra une identité, et par suite ou

aura :

Sq Sk Sx Sp Sq Sx Sx Sp ,,q.

Sx Sx Sp Sx Sz Sz Sp Sz

'" '1^1'l.^lL'A^, !L^IL'±^l!l^o. . . (10')

Sx Sp Sx Sq Sx ' Sz Sp Sz Sq Sz

Au moyen des équations (10), ou (dO') et (7), on pourra éliminer ^1 ^ de l'équation (9), qui deviendra ainsi :

Sp Sx Sp Sp ( S» \ Sx Sx

Sx Sp Sy SzV Sp / Sx Sz

Sx âp Sy Sq X ip ^ Sqj Sz \Sx 'Szj ^ '

Réciproquement, des équations (7) (11) ou (7) (11'), on peut déduire l'équation (9). L'intégration de l'équation (7) est donc ramenée à celle de l'équation (11), ou de l'équation (11') d'où l'on suppose q éliminé.

On peut aussi ramener l'intégration de (7) à la recherche d'une relation implicite (8). Pour cela, on tirera de (7) et (8),

Sx Sp Sx Sq Sx ' Sx Sp Sx Sq Sx '

Sf Sf Sp Sf Sq ^ Sft Sf^ Sp SU Sq

Sy Sp Sy Sq Sy ' Sy Sp Sy Sq Sy ' ^ ^ '

Sz Sp Sz Sq Sz ' Sz Sp Ss Sq Sz Les deux premières de ces équations donnent :

les secondes

les troisièmes

z,p q, p Sz z, q p,q Sz

Combinant ces relations avec (9') il vient :

D» ' / 1 . r« ' ' ' » T\ ' ' ' t n If II n. \- D j- p D H q D — —=. 0:

ou, en changeant les signes, et ordonnant suivant les dérivées de/.

'Ji'l'AUr'lVM'l^.lU'AE^a'l

Sp ■ SySq- J.\P5^-*-^I^j-lFi^-*-Pd^j-7^te + ^-l = «-(*3)

On arrive au même résultat, par la théorie des déterminants, en éliminant les dérivées de p et q entre (9) et (12). On peut aussi remonter des équations (7) et (15) à l'équation (9).

37. Déduction de l'intégrale générale, de V équation fllj, fH'J ou (13). Les systèmes d'équations différentielles simultanées correspondant à ces équations, d'après le n° 32, sont :

dij

ôp

èp

'^ Sz

dij

- dp

Pv- +

ôp

èq

' Sp

'^ Sz

— dp

-dq

rip

àq

^ Sp

^Sq

^ Sz

' Sz

Considérons l'un quelconque de ces systèmes; on tire immédiatement des deux premières équations

dz = pdx -\' qdy , (1-i)

relation qui peut donc remplacer l'une d'elles. Lagrange a ingénieusement déduit de là la solution d'un paradoxe analytique qu'il avait découvert lui-même.

Le système (U J a pour solution un système

où u, V, w sont des fonctions de x, y, z, p, et o, 6.. c des constantes. Par conséquent, l'intégrale de l'équation (11) ou (H') est une relation de la forme

u = f {v,iv) (i-^)

<f étant arbitraire.

« Cette équation (15), dit Lagrange, combinée avec l'équation

donnée,

donnera les valeurs de p et (/ en x, y,z, qui , étant substituées

dans l'équation

di = pdx -t- qdy (2)

la rendront susceptible d'une équation enx,y, z qui sera l'équation cherchée. »

« Comme jusqu'ici, rien ne limite la fonction ^ {v, w),il s'enuivrait que l'équation primitive dune équation du premier ordre i trois variables pourrait renfermer une fonction arbitraire de ieux quantités; il est facile de se convaincre qu'il est impossible ie faire disparaître d'une équation à trois variables une fonction irbitraire de deux quantités par le moyen de ses deux équations lérivées. »

Cette objection n'est pas tout à fait exacte. On peut dire simjlement ceci : il est assez extraordinaire, au premier abord, que 'équation primitive d'une équation du premier ordre à trois variables puisse dépendre de la valeur de p, déduite d'une relalion (15) qui renferme une fonction arbitraire de deux quatitités. fuoi qu'il en soit, Lagrange a très-bien expliqué le paradoxe que DUS venons de faire connaître et a donné en même temps le loyen de trouver l'intégrale générale de léquation (7), comme îuit :

Au lieu des variables x,y,z,p, qui entrent dans les équations (llj ou (lU), nous prendrons u, v, iv,p. L'équation (14) pouvant remplacer l'une des équations (H„) ou (Hâ), « dans la formule dz — pdx — qdy, les termes provenant de la variabilité de p, se détruiront mutuellement, puisque ces mêmes expressions » des anciennes variables en fonction des nouvelles, « rendent cette formule nulle dans le cas où m, r, w sont constantes. Elle deviendra donc de la forme :

Udu ■+- \dv -+- Wdw ,

dans laquelle U, V, W seront des fonctions de p, u, v,iv » (Lagraxge). Au lieu de l'équation (14), on peut donc prendre

Vdu-i-\dv+Vfdw = 0 (16)

Comme l'équation (13), qui est une solution de celle-ci, ne contient plus explicitement />, il en sera de même de (16), de sorte qne U, V, W sont exprimés au moyen de m, v, to seulement. Au lieu d'intégrer la relation

di = pdx ■+■ qdy (2)

(74) après y avoir remplacé p etq par leurs valeurs tirées de

u=?{v,tv), (15)

nous pouvons donc intégrer

Udu-4-Vdu-t-Wdtc = 0, (16)

en tenant compte de

w = ?(v,to), (15)

les fonctions u,v,wne contenant pas q, même implicitement, si elles ont été déterminées au moyen de (Ha). On tirera de (15)

ff if du = -—dv-i--r— dw,

Sv àW

et par suite, on aura, au lieu de (IG) :

U-^ -t-Vl dv-t- (U-^-l-VV)d«; = 0, (17)

d'où l'on pourra éliminer u et déduire une relation de la forme

v = <!^{iv) (18)

En éliminant p entre (15) et (18) on aura l'intégrale générale cherchée. Si l'on avait laissé q dans w, v, iv, on ajouterait l'équation donnée (7) aux équations (15) et (18). En tout cas, on voit que u et v sont des fonctions de w l'une et l'autre, mais l'une d'elles n'est pas arbitraire.

Les équations (13„), qui sont au nombre de quatre, ne donnent rien de plus que les équations (11„) ou (1 IL), parce que l'une des solutions de (15„) est / = 0, comme on le trouve aisément. En effet, si l'on forme un rapport égal à ceux qui entrent dans (15») et dont le numérateur soit

Sf if df df Sf

-^ dx -{- -^ du -\ dz-i- — dp-+--—dq,

ix hj ^ dz dp '^ Sci

on trouve que le dénominateur est nul. Une des équations (15a)

leut donc être remplacée par rf/'=0, ou /"= constante. Cette con- , tau te doit être nulle, puisque sans cela lintégrale trouvée serait incompatible avec l'équation donnée. Le système (lôo) équivaut ionc au système (1 1 „) auquel on ajoute f=0 (*).

3S. Recherche de rintégrale complète {**). Prenons , pour la relation (15), l'équation

ii = a + bv -i- en- .

m a, b, c sont des constantes arbitraires, et faisons 6 = 0, c = 0. •n trouvera

lette équation , avec

lonnera p el q exprimés au moyen de la constante arbitraire a, |?l des variables x,y ,z. Par suite

di = pdx -+■ qdy

sonduira à une solution avec deux constantes arbitraires qui sera ^intégrale complète.

On peut arriver à celle-ci d'une autre manière, en certains cas. Supposez que dans l'équation (IG), on ait W^O. Il est clair que l'on satisfera à celle-ci, en posant

relations qui, avec (7), donneront l'intégrale complète (voir l'exemple du n" 59).

I O Lagrasce, Leçons, pp.ZSô et suiv. Lacroix, t.II,a»747,p.564.LAGRA>GE dit encore : on a

V = ifur , u = %MJ avec la condition

U%'«7 -I- Vif/tc -+- W = 0.

(**) C'est là, si nous comprenons bien Lacroix, l. II, u" 741 , p. 549, une idée de Charpit. Lacroix, t. III, p. 705, fait connaître quelques remarques ite Poissos , sur la liaison qui existe entre le procédé qui donne la solution générale au moyeu de l'intégrale complète, et celui que nous avons exposé an numéro précédent.

Remarque. La méthode de Lagrange comporte une double extension dans le cas où le nombre des variables est supérieur à trois. On peut ramener la question à la détermination d'une intégrale d'une équation analogue à (16), telle qu'elle soit en même temps l'intégrale de l'équation donnée; c'est ce qu'a fait Jacobi, dans son extension de la méthode de Lagrange, comme on le verra au chapitre suivant. Cette méthode exige l'intégration complète des équations (i4„), (lia) ou (13„). Mais Jacobi a trouvé une autre extension de la méthode de Lagrange, qui mérite le nom de méthode de Jacobi, et qui est fondée sur Vintégration incomplète d'un certain nombre de systèmes d'équations analogues à (i3„). Cette méthode sera exposée dans la seconde partie de ce mémoire.

§ 10. Exempte» (*).