Exemple d'application de la méthode du n" 37. Soit
Z = pq
l'équation donnée. Les équations auxiliaires:
dx dij dz dp q p 'ipq p
{*) Le premier de ces exemples, qui a été admirablement choisi par Lagrange , comme application de la méthode générale , se trouve dans les Leçons, etc., p. 393. La classification des autres est due à Legendre (Mémoires de l'Académie de Paris, 1787 : Mémoire sur l'intégration des équations aux différences partielles, pp. 309-331 ; § IX, pp. 337-348 : Des équations non linéaires du P'' ordre), résumé par Lacroix, t. II, n"' 742-747, pp. 530-364. Les cas particuliers, où l'on parvient à terminer les calculs, ont été empruntés par l'un et l'autre, à Lagrange, Mémoires de Berlin, 1772, 1774, 1783. Jacobi (Journal de Crelie, t. XXIII, p. 2) fait remarquer que plusieurs de ces exemples traités par Lagrange avaient déjà été résolus par Euler, au moyen d'artifices particuliers. Nous faisons aussi quelques emprunts à Boole, Treatise, ch.XIV. Pour abréger, nous avons laissé de côté les raisonnements de Lacroix relatifs à une méthode générale, pour découvrir de nouveaux cas d'intégration (t. II, n» 743, p. 538), et l'exemple qu'il en donne, savoir
lqx2
Ou intègre cette équation en posant ay = qxz (t. II , p 561).
•■—qyzj
( 77 ) conduisent facilement aux intégrales :
U = M — P = fl , l' = -T = ^ • te — X — —C.
On tire de ces trois équations :
((>, = du -i-dp, ch = -2pvdp-i-p*dv, dx = dw-^pdv-i-vdp.
L'équation
dz — pdx — qdy = 0
prend la forme
dw -+■ rdu = 0.
Si l'on fait cette équation devient
dw -t- ?(«,») du = 0,
qui conduit à l'intégrale générale.
En posant, au contraire,
dtc = 0, du=0, ou
tf = x— - = c. u = ij — p = (i.
on trouve deux relations , qui par élimination de p conduisent à
l'intégrale complète
On arrive encore à l'intégrale complète, en prenant pour fléterminer p l'équation [y — p) = a- On a
d: = (y — a) dx H dy,
J!1 '-f!L- = dx.
y — a (y — af L'intégrale de celle-ci est
ou
40. Exemples dépendant de l'mtég ration d'une seule des é(juations auxiliaires. I. Exemples dépendant de l'intégration de
dx
= dy.
On pourra intégrer celte équation , si l'on a :
j- = ¥{x,y) dp
c'est-à-dire, si l'équation donnée est de la forme :
q = pF {x, y) + <f {X, y).
Dans ce cas
dz=:p (dx -+■ Fdy) ■+■ f (x, y) dy.
Si
dx -4- Fdt/ = 0 a pour facteur d'intégrabililé v, de sorte que
V (dx ■+■ Fdy) = du,
il viendra
dz = v-T'(x,y)dy.
Supposons que l'on ait éliminé a: de y et de v, en remplaçant cette variable par sa valeur en u el y; on devra avoir
v/ df
dy du On déduira de là
p='fTu^y-
Cette valeur de p contiendra une constante arbitraire ; la valeur de z en contiendra donc deux et donnera l'intégrale complète (*).
(*) Lagrajîge , Mém. de Berlin, 1772; Œuvres, l. ill, S""- cas, p. 362.
Soit, par exemple,
xq = py + xe**+!i*:
n aura :
p = ixye" -H iax , q = iy*e" -4- e" -H •2ay, dx = ye^^+y* i'2xdx -+- 2yrfî/) + e^+^'-dy -v- Sajxfj; -♦- 2aydy,
i = ye'*+»* -t- o (J-* -♦- y*) + ^• II. Exemples dépendant de l'intégration de
