III. Exemples dépendant de Vintègration de
dx — dp
Sx, Sk Sx
Sp Sx Sz
dp
Sx. Sx Sx
Pour trouver la valeur de x oxi q qui satisfait à cette équation linéaire, nous devrons intégrer le système auxiliaire :
Posons
ou
dx
dz ~ P~
dp
dq
Soit T = a, l'intégrale de dp==F{x, p) dx; tirons-en p = 7r(x, a).
On aura
dz = T {x, a) dx, z — pr (x,a)dx=b;
les autres intégrales sont q = c, y ==d. Donc l'équation linéaire qui donne q, aura pour intégrale :
q = ?{y,1\z—y}r {x,a) dxy
( 81 ) La relation dz = pdx -t- qdy, devient
dz = pdx -+■ ? (y , T, s — j tt (x,a) dx\
Posons, p= 77 (x, a), el soit
s = ylr {x , a] dx + V.
il viendra :
d2 = pdx + di' = pdx -h -• {y, a, v) dy.
On n'aura plus qu'à déterminer v par la relation :
dv= ? (y,a,v)dy.
Remarque. Il est visible que ce cas ne diffère pas au fond du
précédent, puisque les x el les y jouent un rôle identique dans
les équations aux dérivées partielles. Nous nous contenterons
donc de donner un exemple particulier, emprunté à Lacroix (*).
L'équation :
q = (-■ -^ px)^ a pour intégrale :
X y -i- b IV. Exemples dépendant de l'intégration de dz dp
d'/. S'/. St.
Sp Sx Sz
Nous poserons, pour rendre cette équation inlégrable :
Sx S-/. I jx\
Sx àZ \ Sp)
(^(.'Ite équation aux dérivées partielles a pour système d'équations iniiiltanées correspondant :
dx dy dz dp dv-
\ 0 p ~ pF (z, p) ~ /-F z. p)
Soit T = 6 l'intégrale de dp = F(r, p] dz, cl soit p = n{z,b) la (*; Tome II , n» 741 , p. o49.
valeur de p que l'on en déduira; on aura pour les autres intégrales du système auxiliaire,
r dz
x=pa, x—f =:c. \i=zd.
L'équation en y, conduit donc à l'intégrale :
q = Pf(y,'ï,x- I — ^).
Les équations de cette forme donnent pour dz la valeur
On posera
r dz
il Viendra :
dz = T(z,b) / , -4- dv -i-f{ij,b,v)dy\,
qui se réduit à l'équation intégrable :
dv-^f ()j,v,b) du = i).
Un cas j)ariiculier est celui où
On a alors
dz = pdx + X (p , s) dij.
La condition d'inlégrabilité est, en supposant/) fonction de z seul. /9 = 77Z, j)ar exemple,
Sp Sz ou
qdp = pdq .
q = ap ou X (p , z) = ap .
On tire la valeur de ttz de cette dernière relation. Cela fait, p =^nz conduit à la valeur de x :
l^x Sx Sp\
fdz ,
J TTZ ■•'
( 85 ) D'autre part, q = ottc donne
rdz
atj= I \-xx.
Pour que ces deux relations soient identiques, il faut que
r!j = — ay-i-b, xx=—x-i-b.
Donc, enfin, Tintégrale complète est:
