X -^ ay = b - \/ \ -^ a* \/ l — z*. OU

(x + ay — bY= (I + a«) (1 - z'-,.

C'est l'équation d'un cylindre de révolution, dont l'axe est représenté par les équations :

3 = 0, X -^ ay — 6 = 0.

On trouve pour solution singulière, d'après la règle générale,

En procédant autrement, on arrive à une intégrale complète

(*) Mémoires de Berlin, 1772, Œuvres, l. III, 7"" cas, p. r)66; 177t. OEuvres,l. IV, n'SljP. 81.

( 84 ) qui représente la sphère. On tire, de l'équation donnée

Par conséquent,

'2zdz = -Izpdx -t- 2 (1 — 3*— ph^f'- dij.

Le premier membre est une différentielle exacte; il en sera de même du premier terme du second, si l'on fait /)z = (a — x). Dans cette hypothèse, soit

il viendra

ou

Donc enfin

z^-\- (a— xY= v:

2(1 — vyi^dy = dr,

(]-v) = (y-b)\ '■-h'x — (if-\- (y ~ b)^= 1.

Remarque. Dans les divers exemples que nous venons de traiter, nous avons toujours employé la méthode du n° 58, qui consiste à tirer la valeur âep de la solution n=a, de l'une des équations auxiliaires. Nous savions à priori que nous devions arriver de cette manière à rendre dz =^pdx -+- qdy intégrable. Nous venons de voir à posteriori qu'il est bien ainsi.

41. Quelques exemples dépendant de Vinlégralion de deux des équations auxiliaires. I. Considérons les équations auxiliaires :

dx

Jx

Sy.

Sx

■^^'sl.

Ces

équations seront intégrables

si

S-A Jp

et

Sx Sx Jx'^^Jz

sont des fondions de x, y et p seuienient. 11 suffit pour cela que z entre dans q au premier degré et soit multiplié par une fonction de y seul; autrement dit (|uc

q = F {x,y,p)-^-z'fy.

( 83 ) Comme cas parliculior, nous pouvons citer celui où

On a alors une équalion qui ne contient plusz, et on peut lui appliquer la méthode du n" 5o. Ainsi, l'équation

px-t-qy = pq

donne, de celte manière,

p = i/-t-6-'a;, q:=x-*-by, 26 (s — o) = (x -t- 6y)'. Lagra>ge traite, par un artifice spécial , l'équation (*) :

11 pose

x = yu, p=?u, d'où

dx = y du -f- udy. q = f(9u, u)

dz = yfudu -+- (/■(?«, u) -\- M?i/) dy.

11 détermine -, par léqualion

b-¥- Cfudu ■= f (9u, u)-*- ufu, ce qui donne :

2 = a -»- fc(/ -»- yjj'Udu.