CHAPITRE III

EXTENSION DE LA MÉTHODE DE LAGRANGE AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES CONTENANT UN NOMBRE QUELCONQUE DE VARIABLES (*).

§ 11. Théorie.

4t%. Réduction de la question à l'intégration dun système d'équations différentielles simultanées. Soit donnée l'équation

f{Z,X^,X^,...,Xn,Pr,Pi,...,pn) = 0 (1)

Si l'on en connaît une solution, les valeurs de Pi,p>, ..., /?„ , en

(*) Cette extension de la méthode de Lagrange , vainement tentée par CuakpiT, d'après Lacroix, t. II, n" 748, pp. 567-572, a été efifecluée par Jagobi, dans le petit mémoire intitulé : Ueber die Inlegralion, etc. (Journal de Crelle, t. II , pp. 317-329). Les calculs sont les mêmes que dans la méthode de Pfafl", mais ils sont effectués dans un ordre inverse. Dans la méthode de Lagrange et Jacobi, on ramène l'intégration des équations aux dérivées partielles non linéaires à celle des équations aux dérivées partielles linéaires, ou à celle des équations différentielles simultanées correspondantes; c'est îà l'idée fondamentale, qui conduit d'ailleurs à un changement de variables, comme on l'a vu au n" 37. Dans la méthode de Pfaff , au contraire , le changement de variables est l'idée fondamentale, et elle conduit au reste aux équations différentielles simultanées dont nous venons de parler. Comme on le voit, le travail de Jacobi, que nous analysons dans ce chapitre, est éminemment propre à montrer le lien qui existe entre la méthode de Lagrange et celle de Pfaff. C'est pourquoi nous le plaçons ici, quoiqu'il n'ait eu absolument aucune influence sur le développement de la science.

[A. Meyer , dans l'écrit ïnl\lii\é : Mémoire sur l'intégration de Véquation générale aux différences partielles du premier ordre d'un nombre quelconque de variables (Mém. de l'Acad. de Belgique, t. XXVII, 3" pagination, pages 1-24), a reproduit le travail de Jacobi que nous analysons ici, sans y faire d'addition essentielle.]

z, a-,, Xi, ..., X, que Ion en déduira, rendront intégrable l'équation :

d3 = Pi(/j-, -»-pjdj;,H t-p„dx„ (2)

Par conséquent, on aura :

dxt dXi ou

^Pi Spi Spt Spt

Sxk Sz Sxi Sz

Si l'on substitue dans {\) les valeurs de p,, ..., p« dont nous parlons, et que de plus, l'on remplace z par sa valeur, l'équation (1) deviendra une identité dont nous pourrons déduire, par dérivation :

JXi Jï ' Jpi dx, ipn dx^

Sf Sf Sf dp, ^ ^ ff dp„

àX^ dZ dp, rfj-j àp„ dX^

'sf if ?f dp, ^ ^Sf 'dp„

ix„ iz dp, dx„ àpn dx„

Posons :

Sf Sf Sf Sf

dj-, Jz, -iXn SZ

Sf Sf

P=P.Y--^ -*-Pn^ (6)

^Pl "Pn

Introduisant les conditions (5) dans les équations (-4) et y ajoutant une équation identique, qui n'est pas différente de (6), on arrive au système d'équations suivantes auxquelles devront satisfaire les valeurs de z, p,, ... , p, , déduites d'une solution quelconque de (i) :

dp, dx, Sp^ rfj-j Spn dx„

Sp, dx, Sp, dr, Sp„ dx„' ' ' ' ' ^ *

p„=iîi^'^v^;..;iy:'#:

Sp, dr, Spt dj, Sp„ dx„ p ff ds Sf dz Sf dz ~'SPxd^x'^W*dx^'^ '^If^dx'n ^^"^'^

11 est essentiel de remarquer que, si l'on peut déduire les équations (7) des équations (4) et (3), on ne peut pas inversement déduire les équations (3) de (4) et (7). On peut donc conclure de l'analyse précédente que les valeurs de pi,/>î, ... ,p„, z en Xi, Xj, ... , x„ qui satisfont aux équations (7), contiennent les solutions de l'équation (1); mais la réciproque n'est pas vraie, en général : les solutions du système (7) peuvent ne pas satisfaire à (I).

11 résulte de là qu'il faut chercher, parmi les solutions du système (7), celles qui satisfont à l'équation (1). L'intégration du système (7), d'après le § 7 (voir particulièrement le n° 32), se ramène à celle du système

dXi dXn dz dpi dpn .^ ,

Sp^ dp„

Comme

sr Sf sf sf sf Sf sf

Ja;, Jpi àXn àpn d- àp^ d/?„

les rapports qui entrent dans les équations (TJ sont égaux à

autrement dit, une de ces équations peut être remplacée par df'=0. Il résulte de là que l'une des intégrales du système (7(,) est /■=Cj„,que nous écrivons /î„^Cg„; le système intégral des équations (7a) pourra être représenté par

les /"désignant des fonctions de z,x, , x^, ..., x„, p,, Pi, ... ,p„, les c des constantes.

Le système (7) aura pour solution («-+-!) relations de la forme

Reste à particulariser la forme des fonctions F de manière qu'elles donnent la solution de (1).