Changement de variables. Posons, comme dans le cas des
f-quations à trois variables :
A = 0, A = "./*= "ï ^i--i = Wta-i, (8)
el déduisons, de ces 2n équations. les valeurs des variables
X,, ... , J-„,p,, ... .p„, en fonction de
Si l'on introduit ces variables dans l'équation
dz = Pidjr^-i- ■■ -i- p„dx„ (2)
elle deviendra :
dz = Zdz -+- L,du, + Ujd«, -+-•••-+- Uî,, <iuj,,. ... (9)
Il est facile de prouver que Z = I et que l'équation (9) ne contient plus z. En effet, on déduit des n premières équations (7.)
d5 = p,(/jr,-+-Pi<lrjH ^p„dx„ (10)
Cette équation (10) peut donc remplacer l'une des équations (7), et il en est de même de l'équation (9), équivalente à (iO). Or, les équations (7.) ont pour solution :
qui donnent
du, =:0. dUj^O, ... ,d«5„, = 0,
et par suite transforment (9) en Z= 1. Ensuite
F(u.,ii„...,u4.,)=0 (H)
est une solution des équations (7.) et par suite de léquation (9),
ou de
U.du.-t- +U,. ,«fu,,, = 0; (y)
celle-ci ne peut donc pas contenir la variable z, qui n'est plus dans (H).
On peut encore démontrer les remarques précédentes, par un calcul direct. On a :
dcF, djc, dx„
les valeurs de
dxi dXf dx„
'dz' ~dz'"'~dz
étant déduites des relations (8), qui satisfont à (7„). Ainsi :
dx^ 1 Sf dx^ t Sf dXn \ Sf
~dz ~ Vlpi' ~dz~^lpi' ' dz ~ P ip„'
Par conséquent, d'après (6)
1 ( cV/- ^f ^f } .
P ( ^Pt «Tpj Jp„ )
Calculons un des coefiicients U. On a, pour l'un quelconque de ces coefficients :
dXi dx, dXn
U=p,— -H-p, -—H y-Pn-r—
du du du
La dérivée de U par rapport à z, est :
dV " /dp, dXi d^Xi
— = I ( — ~-hpi
dz { \ dz du dzdu
On peut transformer cette équation au moyen de la relation
d*Xi d /" dx\ dpi dXi dzdu du \ ' dz J du dz Il vient ainsi :
dU " /dpi dXi dp, dXi\ d " dXi
— = Z( ) H 2, Pi — ,
dz i \dz du du dz / du i dz
ou
dU " /dpi dXi dpi dXi\
dz i \dz du du dz )
puisque
^ dXi
1 dz
Nous pouvons maintenant remplacer dans j^, les quantités
dp,- dXi dz dz
( 91 ) pu leurs valeurs déduites des relations (8) ou (7„). On aura :
dp,- P. dr. 1 dY
Donc
dz P I V ' du -fp, du/'
Remplaçons P, par sa valeur :
dU__l^ " /__f/^ d^. ^ dp,\ l^^l dfi ds ~ P I V ^x^ du ip, du) V Sz i^' du
La première somme est la dérivée par rapport à u de l'expression /', qui est identiquement nulle, la seconde est égale à U.
Donc
dU Sf
dz Jz ou encore
(. étant une fonction des variables autres que z, savoir m,, Il résulte de là que Ton peut diviser l'équation (9') par
p i/ or p
Elle deviendra ainsi :
