II. A cause des propriétés des déterminants, on a
7^^X^ -4- TT^X^ -+- r^X^ = 0 , Pi^, -1- Pj^a ■+■ Pj^j = 0 . l^X^ -\- l^X^ -4- ^îiTj = \ , p^T, -t- p,^j -f- P3T3 = 1 .
Par conséquent, on peut tirer des équations différentielles :
XidXi -t- x^dx^ ■+■ x^dx^ = 0, p^dpi + p^dp^ -+- p^dps = 0 , PidXi ■+■ p^dXj, -f- Pjdo;. = dz= — {Xidp^ -+- a-jdpa +• x^dp^.
(*) ScHLAEFLi , Sopra una equazione a differenziali parziale del primo ordine (Annali di matematica pura ed applicala , série 2s t. II , pp. 89-96).
( 93 ) la dernière relation donne encore:
On tire de là , en remarquant que
. r; + xl-i-xl){pl-^pl-*-PÎ)- (^iP. + ^J»» -*- ^»P»^' = sî -4- «1 + s| , (3) trois intégrales qui sont comprises dans les équations suivantes :
j:\^a^^-i-xl = m^ s; H- s» -4- sj = N* (^) (*•)
p* H- pl -+- p' = -7^ ' ^iPi -*- ^»P« -*- ^*P» = ^' *^* ^' ^*'^ ^*«^
Fi fi t-5 mïsui*£
auxquelles il faut ajouter l'équation donnée :
a,s;-i-ajSi-«-a5s|= 1: • (*)
N. m, s sont des constantes arbitraires, m. On a ensuite :
,/.«, = x^dp^ -H p^» - x^p, - P^dx^ = { - a;,ls -t- PsT, -4- a:,?, - p,^,) ds. Mais d'après les propriétés des déterminants : a^j«s -+- Xj^5 -t- Pi^s = 0 •
Donc
(a* — Oî) «i«3 = — -^i'-s — Pî-5 -+- ^3^ -*- Pï^t •
cl . par conséquent,
ds, = (flj — Os) *j*jd5.
De même
dSg = (aj — Oj) «jSid; .
dSs = (a^ - Oj) »,s,d5.
De CCS équations une seule est distincte des précédentes , car on
i-n tire :
«jdSi -t- s,d*j -*- SjdSj, = 0,
a^SidSi -+- a,«,dSj -t- a^s^^ = 0, qui conduisent aux relations (1) et (4,). Nous poserons:
duzrziSiS^fds.
On aura :
2«id«i = («2 — Oj) du , SSjdSj = (Og — oj du , SsjdSg = (Oj — aj d(/ . OU, en posant, pour abréger,
et intégrant :
s] = 6iW-t- A,,
si = &,tt -4- Aj ,
Les constantes A,, A^, A3, à cause des relations (I) et (4î) sont
telles que
a,Ai -+- ttjAj -4- OjA = 1 ,
A, -+- A2-4- Aj = N.
De plus on peut supposer A, constante absolue, puisque ti est une variable que nous choisissons arbitrairement (*). La relation qui existe entre w et z donne ensuite :
du
\/(Ai + b^u) (Aj 4- b^u) (Ag -V- bsu)
