IV. Cherchons une dernière intégrale . On a

PidXi — ccidpi = [piTTi +a;jÇi) dz={\— «iSf) dz = [a^s\ + «gSf) dz p^dx^ — x^dp^ = (Pi^2-i-x^'^i) dz = {l — fljsl) dz = (Ogs! -+■ a^sl) dz p^dXs - a-^dp^=:(p,7r^-i-Xs^^)dz = (1 - Og.sg) ds = (a,s* -4- ajs|) dz.

x^, m^ Pi , N cot f

arj -4- aî| -4- a?!

dî, ,

Pi , XiPt -H a;,pj -4- a^sPg

Donc :

m^p, = N cot e.Xi — {x^s^ — x^s^) , m* (Pida^i — a-.dpi) = aSid {x^s^ — x^s^) — {x^s^ — x^s^) (te, .

Posons

No?, = mpi cos 6, , (a-jVj — x^s^) = mp, sin 9, , /?* = «= + «^ ,

(*) Nous avons vainement essayé de laisser A, constante arbitraire et de rendre la solution du n» 43 aussi symétrique que celle du n« 4i.

ce qui est permis, puisque :

{x,s^ - x,»,)» + N»xf = {xl -4- xl) isl -t- si) - (ar,«, -f ■ J^g* -4- N*a;î = (m» - arî) (N« - «î) - (x,«,)» -l- ^'x\ = m' (N* - s\) = m» («î -f- si).

On aura :

Xid (iti»5 — «s»*) = ^ Pi «>s «1 (m sin e,dp, -*- mp, cos Oïde.) , (x,«5 — x^j) dx, = - ( — ;>, sin O^de, -♦- cos M/») "H>i su» «i .

Par conséquent :

m* ^ , m* (sî + s*) ^„ m* (p,dx. - x.dp.) = — p'dt, = —^ 5. as,.

On a donc les équations suivantes, en introduisant des quantités 9j, $3 analogues à 9, :

(«' -4- «|) de, = N {a^sl -h «yÇ*) d2, («* -f- s») dfl, = N (03S* -t- a,sî) dz, («î -+-«*) dO, = N («,«f -t- a,.sl) dz.

Les quantités s,, s*, «3, ainsi que dz, peuvent s'exprimer au moyen

[ de H. On peut donc écrire :

-^ fid=,

«* -+- sî

/" «ss! -H a.s* -^ —dz.

Des trois nouvelles constantes a,, o^, aj, une seule est arbitraire. On déduit, en effet, des équations qui définissent 9,, 6„ ôj :

X* (xî + X* -+- x^) = m* (p] coà» e, -H pI cos* \ -H p* cos« Oj) , x*«, — X,*,)* -*- (x,?, — x,«,^* + (X.Sj — x^,)* = «^ (p* sin» 0, -4- ?î sin» 6, -♦- /:J sin» OJ ,

ou encore, comme on le voit facilement :

N* = p\ cos^ 01 -+- pi cos* e^ + pI cos* Ô5 , N* = p] sin* 0, + p^ sin* 0^ -4- p^ sin* 0, .

Si l'on fait w = 0 dans ces égalités, il vient :

N* = (Aj -♦- As) cos^ «1 + (A3 -4- A,) cos^ a^ -+- (Aj + A j) cos* a , N* = (Aj -4- A3) sin* a, -+- (A3 -»- A,) sin^ ^^ -4- (A, -+- A,) sin* «3 .

équations équivalentes.

On trouve une seconde relation de la manière suivante. On a identiquement :

Xi Xf x^

*1 s» '^Ti

a;, (x^Ss — a;s«2) + x^ (x^s^ — x^s^"^ -*- x^ {x^s^ — x^i) = 0.

Remplaçant les différents facteurs de celle somme de produits par leurs valeurs tirées des équations qui définissent les ô, il

viendra :

.p\ sin 20, + pi siii 20^ -f- pi sin 2Ôg = 0.

Si l'on fait m = 0, on aura :

(Aj -+- Aj^ sin 2a, -+- (A3 -+- A,) sin 'i(X^ -t- (A, + A^) sin 'io:^ = 0.

On remarquera que les autres relations entre les quantités A et a sont équivalentes à celle-ci :

(Aj -4- A3) cos 2a:j -4- (A3 -4- A,) cos 'iy^ -4- (A, -»- A^) cos 2<5;j := 0. Pour plus de symétrie, nous poserons encore

j:, -4- Jijj M- «3 = Zn.

Nous n'avons affaire qu'à cinq constantes, «j, N, n. A; et c; en effet, les quantités A s'expriment au moyen de N et /î, et les quantités a au moyen de n et N. On remarquera que

dépendent seulement de N et 11, z ne contient que k et N.

45. Intégration de Véquation donnée. Prenons les quantités m, N, n,.f, k et u pour nouvelles variables. L'expression

p^dXi -+- pjdx, -t- PsdJ-3 — dz prendra la forme :

— dk -t- P,rfm ■+■ Pjdn -t- P/iN , •

sans contenir rff, puisque c, x,, Xj, Xj ne contiennent pas f; ni dtt, puisque, d'après la théorie générale, si z était la sixième variable nouvelle, le coefficient de dz serait nul et que du = ^SiSiSidz. De même nous savons que P|, Pj, P3 sont indépendants de z et par suite de m.

■ I. C«««/(deP, = p,^ + p.^ + p,èOna:

dm \m/

donc

dXi a-, dm m

De même :

Xj dXj a", m d»» r/i

Par conséquent :

dx, dXj dx.