II. Ca/cMf rfe Pj = p, ^ -H

Pi^i

— = — col f .

VI m

p-/^-Ona

Donc Par suite :

xî -H x^ H- a;? = »i ,

dx,

a-i.x, Pi, Pi

dXj

dx,

"dn

dn dx, dn"

dx, ■*"d7 dx.

dx,

dx, d d/i dn

dx,

' dn

dx,

' dn

d dO da, diz,

= - (mp. sin ..) = «.p. cos e. = Nx. — •

• ( 98 ) Donc enfin :

^' ^ dn De même, ^ ^

D'où, en ajoutant, d'après la définition de n :

d , d.Zn

dn^ * '' rfn

Par conséquent

m. Calcul de P3 = p,^-+-p,^-t-p3^— ^-L'expression 2^ est une intégrale définie entre les limites 0 et u, puisque N n'entre dans z qu'implicitement à cause des quantités A qui sont sous le signe d'intégration. Comme on peut faire «^ = 0, dans P^ sans changer sa valeur, on aura simplement :

^ / dXi dx, dœs\

Pour arriver à calculer cette expression , nous serons forcé de faire une hypothèse particulière sur A, et a,. Nous supposerons Ai= 0, «1 = w, ce qui ne changera rien aux calculs précédents, mais simplifiera les suivants en entraînant, pour u = 0,

dô diXi

*'~ ' dN^dN^ '

On a, comme plus haut :

dx^ dx, d , dSj ds,

' dN * dN dN ^ * ' * ' ' dN ' dN

Exprimons (xj-Sj — SiX^), s^, Sj en fonction de N et de pi, et pi en fonction de s,, qui ne contient pas N, et de N. On trouvera :

^î«8 — ^ih = '>»Pi sin Oi ; pl = K^ — s\ ;

(a* - ffs) «I = 1 — a^s] — a^p] ; (03 - 0,) s* = 1 — o,sf — a^pl .

( 99 ) On tire de là :

d^ ~ Pi d^ {Ci — a i) Si dN ~ («s — CTj) «5

Par conséquent :

N „ dOj N ,

PjO;, = m sin Oi — H mp, cos ^i -rrr — , j («r^jS» + aja:,»,)

Pi dy (a, — Os)*««s

= ^x, — -4- x,s, [(ff, - a,) s| - a,pî]

d> (a» — aî)p,Sj«5 <

-+- a?s«s [(«s - a,) s', — flgpî] } dO, N

dN (a, — Os^pfVî Comme

a-j*! ■+■ a^jSj -t- .TySj = 0 , a,s* -+- a,s| -t- OjSj = 1 ,

on a encore

d9. Na;.j?.K9|-<-a3.s^) L^fi, dQA

PyTj = Na?! 1 =: j", N »- Si — •

dN («j — flî) («1 -+- Sj) Vs V dy dsj

Supprimons le facteur x,, et faisons m = o, il viendra

IV. Achèvement de l'intégration. Les calculs précédents ramènent l'intégration de l'équation donnée à celle de la suivante :

cote

d& = N dm -+- Ndn.

Choisissant pour k une fonction quelconque de m et n, il viendra :

dk cote dk

dm m dn

Nous aurons ainsi k, N, cote exprimés au moyen de m, n. Donc Xi, Xj, Xj, z seront des fonctions de m , n, u ; l'élimination de ces trois quantités donnera l'intégrale générale (*).

(*) ScHAEFLi donne une belle application de la solution précédente , au mouvement d'un corps autour de son centre de gravité (\. c, pp. 94-96).