CHAPITRE IV
MÉTHODE DE PFAFF (*).
§ 13. Tfansfofntation de ffaff.
46. Idée générale du problème de Pfajf. Pfaff a fait dépendre le problème de l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre du problème général suivant, qui porte son nom : Étant donnée une expression différentielle :
\^dx^-\-\^dx^-\ hX,„(/a;„, (1)
où Xj, Xj, ... , X„ sont des fonctions de x, , Xj, ..., a;„, la transformer en une autre de la forme :
a(UidM,-»-UjdMj-4-----^Um-ldWm i) , (2)
OÙ Uj , Uj , ... , U„, sont des fonctions de (m — \ ) nouvelles variables, Ui, ..., Wm-i5 qui sont liées, ainsi que 1 , aux anciennes par des équations que l'on doit déterminer.
Supposons ces équations de la forme :
x^ =a7i(Ui,Uj,...,M„,,,a;„,), (3J
Xm-l = Xm-l{Ui,Ui,..,^Um-i,X,n) [^m-Ù
(*) Pfaff, Methodiis generalis, aequationes differentiarum partiarum, iiec non aequationes différent iales vulgares , titrasque primi ordinis, inter quot cumque variaUles complète inlegrandi (Mémoires de Berlin, 1814-1815, pp. 76-136). Une analyse de ce mémoire a élé faite par Gauss (Gôttingische gelehrte Anzeigen, 1" juillet 1815; Œuvres, t. III, pp. 231-241), et par Jacobi, Veber die Pfa/fsche Méthode, etc. (Journal de Crelle, t II, pp. 347- 557), Sur la réduction, etc. (Journal de Liouville, pp. 161 et suivantes). Les mémoires de Jacobi et la petite note de Gauss contiennent divers perfectionnements de la méthode de Pfaff, que nous ind iquerons plus bas.
DEPARTMENT ÛF M-àTHîMATICS' UNIVERSITY OE TORONTO
(101 ) On aura, pour l'une quelconque des variables , ar,, ..., x«i,
Sx Sx Sx ^ Sx
(lx= — du. -4- —- ff u. H h-; dum-i-*-- — cur„ . . (4)
Sui Su^ Sum-i Sx^
Substituons ces valeurs dans l'expression (1). On trouvera:
-\ hX«-i-
Sx»-i\
Sx. „ Sx.
SUm-i
Sxt SxZ
Su„-i
Sx,
SXm-l
Sx„
) dUm-l
SXm-l ., \
dx„
Pour que l'expression (o) prenne la forme (2) , il faudra : 1° que le coefficient de rfx„, soit nul; 2° que les coefficients de rfw,, di/i,...,(/M«, soient delà forme àUj, /U2,.-jit„,,U,,Uî,...,U„,, étant des fonctions qui ne contiennent plus explicitement que les variables Mj, î/j, ..., v„. On devra avoir pour cela :
d ^, ,,^ diog) 1 dx
(log il) = =
dx„. ^ ' dx„ A dx„
Les conditions précédentes s'exprimeront donc analytiquement comme suit :
Sx, Sxm-i Xi— -H hX„i— =/U,.
dM, Su,
SXi
SUm-l
Sx,
Sx„^.
-J-Xm-l-r = il'»-
SUm.
Sx„
SXm-l „
H HX«,-r f-X„ = 0,
1 dXV, 1 d)U, /U, dvT™ iUj dx„,
i di
47. Détermination des relations qui existent entre tes anciennes et les nouvelles variables. Cherchons les dérivées, par
( 102 ) rapport à x,„, qui entrent dans ces dernières équations. On a :
dxU / dXi ^x, d\m - 1 ^x„t-i\
dX,n \ dXm ^U dX,n Su j
V àUàXm SuSXm I
Retranchons de cette équation celle que l'on obtient, en dérivant la relation (6„) par rapport à u, c'est-à-dire :
d\m /dXj SXi dXm-l SXm-i
du \ du SXm du Sx„
il viendra
dX„, dAU/dX, Sx^ d\^ Sx^
du dx„i \dx,n Su du Sx,n
/dXm—l SXm-^ dXm-i SXm — i
\ dx„i Su du Sx„i
Remplaçons maintenant dans cette égalité les dérivées des quantités X par rapport à w et à x„, , par leurs valeurs. On a, en général.
^X SXm~i S\
dX
dXm
SX Sxi
SXy
SXm
d\ du
SX Sxi
Sxi Su
SXm-l SX,n Sx,
S\ SXm — i
SXm-l Su
dAU,
Substituons ces valeurs dans l'expression de ^; nous aurons:
dx„.
£^r/^^\^ /SXy ^x„Ai
(5'u |\<?a5i SxJ Sx„i \Sx,n Sxi]\
SXn
-if/^X^-i SX, \ Sx, ^ ISXm-i sx.„v\
|\ Sx, SXm-ij Sx,„ \ SXm SX,I \
Posons pour simplifier :
SXu. dXv
( 103 ) de sorte que
et ensuite :
fr. = (l,l)i- + (l,2) i.-t-...-+-(l,m-l)-— + (l,m), . (90
dX„, aXm ^*m
Sx, dXa , . , oXm—l /-« \ it% \
* ^ • Sx„, dX„ àXn,
àX,n dX,n
Sx, ., '^Jfiit— I , , /n V
A-,„=(m, 1) -^^ H HCm,m-l)-^ \-(m,m) (9m)
L'équation générale (8) deviendra :
d/U , Sxi Sx^ dx»i (4Q^
dx„ 'ill àll àU
En supposant u = », , u = iii,...,u = w„, , on trouvera les („i — 1) équations suivantes, auxquelles nous ajoutons une équation identique, déduite des équations (9)
=k. — - -^-lii-r-^ H HAm-i— — ,• • • l"iJ
dX,„ dlU-l JMih-J àUm-l
Sx, Sx» SXm-l
0=A-,— î- -4-Aj— ^ -+-•• + A«-l -;^ J-Am . (tlj
SX„ SX,„ dXm
Comparons ces équations aux relations (6) et (7), et nous verrons que l'on satisfait à toutes les conditions exprimées par ces dernières, en posant :
*t ^ A'»-| krn^ ^g,
^1 ^1 Ain—I A„
( 104 ) Chacun de ces rapports sera d'ailleurs égal à
1 dx
A (lX„i
On devra donc, pour effectuer la transformation de Pfaff , intégrer le système (12), où n'entrent que des dérivées par rapport àx„. On en conclut que l'on pourra prendre les(»i — 1) constantes de l'intégration pour les nouvelles variables î/j, ... , Wm i.
Dans des cas particuliers, c'est-à-dire, pour certaines valeurs des fonctions X, les (m — 1) équations (12) se réduiront à un nombre moindre et une ou plusieurs des relations (3) resteront arbitraires. Dans ce cas, le plus simple sera de se donner arbitrairement la valeur d'une ou de plusieurs des dérivées
^X„i Sx,n Sx„i
ce qui revient à prendre un certain nombre de nouvelles variables i<, identiques aux anciennes.
48. Résolution des équations f12J, par rapport aux dérivées j^{*). Pour résoudre les équations (12), nous poserons
— -; aXf„ := aXm+l '■)
A dx,„
(*) Tout ce qui se rapporte à la résolution effective des équations (12) ne fait pas, à proprement parler, partie de la théorie que nous exposons ici. Sur les déterminants gauches et les pfaffiens,nous renvoyons à Baltzer, Déterminants, § III, n» 8, p. 21; § VIII, n»' 1-4, pp. 52-60; § IX, n»» 4-5, pp. 67-68. Pfaff et Gauss remarquent qu'il est impossible de résoudre le système (12) quand m est impair, mais n'en donnent pas la démonstration. JacoBi donne les notions les plus essentielles sur ce sujet dans le mémoire cité. Toutefois la théorie des pfaffîens est due surtout à Cayley, dont les travaux sont résumés et complétés par Baltzer, dans l'ouvrage cité. L'élégant artifice que nous donnons plus bas, pour résoudre le système (12) n'est pas dans l'ouvrage de Baltzer (édition française). Nous l'empruntons à un petit mémoire de Cayley , où il est employé incidemment : Démonstration d'un théorème de
de cette manière, ces équations prendront la forme symétrique
suivante :
(1, l)dj:i-t-{1, 2)dJ-jH h(l, m)dx,„ = X^dx„+^, . . {lô^)
(2, 1) <toj -t-(2, 2) dx^-i h(2, m)dx,„ = X^dx^i, . . (13,)
(m, l)diri +(m,2)(/a-j-H-+(m,m)da?„ = X„da;»+i . . (I3J
Le déterminant de ce système linéaire est le déterminant symétrique gauche :
11,12,13,..., Im
ml, . ... mi Or, celui-ci, comme on le sait, est le carré du pfaffien:
si m est pair, et est identiquement nul, si m est impair, il résulte de là que la transformation dePfaff n'est, en général, possible que si m est pair. Dans le cas où m est impair, pour qu'elle soit possible, il faut que les déterminants qui sont au numérateur des inconnues dx,, dx^, ..., soient tous nuls en même temps que le dénominateur commun, qui est le déterminant écrit ci-dessus; ce qui revient à dire que les équations (15) ne sont pas toutes distinctes les unes des autres.
Dans le cas où m est pair, Cayley a donné une méthode extrêmement simple pour résoudre ces équations. Posons :
— X, = (l,mH-l), — X, = {2,m-t-l),...,-X„ = (m, m-t-1).
Jacobi par rapport au problème de Pfaff (Journal de Crelle, t. LVII, pp. 273-277), p. 275. En imitant le procédé de CATLET,nous avons pu trouver réquation (13) sans nous servir des propriétés des déterminants adjoints, comme fait B.altzer.
( i06 ) On pourra écrire comme suit les équations (13) :
(1,1) dXi-^{l, 2)dXg-\ i-{i,m)dx,n-\-(i, m-i- i) dxm+i = 0, (14,)
{m,\)dXi -i-{m,2) dx^ H \- {m^m) dXm-i-{m,m-+- 1) dXm + i= 0. (I4,„)
On a évidemment,
dXi dx.2
dXm dXm + l
(mH-l,l,2,...,w» — 1) (1,2,3, ..., m)
les dénominateurs étant des pfaffiens. En effet, d'après la théorie de ces expressions remarquables, si l'on substitue ces valeurs dans les équations (14), on trouve pour résultat de la substitution les pfafîîens suivants qui sont identiquement nuls, comme ayant deux indices égaux :
(l,l,2,3,4,...,m + l),(2,1,2,3,4,...,m-t-l),(3,l,2,3,4,...,w-+-l),elc.
11 est facile d'exprimer au moyen de X,, X^, etc., les valeurs de dxi, dx^, etc. D'après une propriété fondamentale des pfaffiens , on a :
(2,3,4,...,m-+-1) = — (m-4-l,2,3,4,...n2) = — [(m-4-1,2) (3,4, ..., ni) -+- {m + ] ,3) (4,5. ..., m, 2) h- elc j ,
ou encore
De même
— (3,4, 5,...,m-f-l,l) = X3(4,3,...,m,l)-t-X4(o,6, ...,m,l ,3) + elc.,
— (m-4-l,l,2,3,...,m~l)=Xi(2,3,4,...,m — l)-f-Xj(3,4,5,...,m— l,l)-+-etc.
Dans le cas où m est impair, et par conséquent (m -+- 1) pair, les équations (14) sont incompatibles , ou peuvent se réduire à un
moindre nombre. 11 est facile de distinguer les deux cas. Multiplions :
la première par. . . (2,3,4,...,»»), la deuxième par. . . (3,4,3,.. ,m,l), la troisième par. . . (4,3,6, ..,, m, 1 ,2), etc.
et ajoutons les résultats; les coefficients de dxi, dx^, ... , dx„ seront des pfaffiens identiquement nuls comme ayant deux indices égaux. Donc le résultat final sera :
[(l,m-4- 1) (2,3,4,...,m)-i-(2,»n- 1) (3,4, ..., m,.l) -+- etc.] da;„+j = 0,
ou encore,
Dans le cas où m est pair, (m-f- 1) impair, cette équation est satisfaite identiquement; si m est impair, (m -+- \) pair, le premier membre de cette équation n'étant pas nul, ew général, les équations (14) ou (15) seront donc incompatibles. Mais , en particulier, si les valeurs deX,, ...,X„, âont telles que (1,2, 5,..., m-hl)=0, les équations (13) se réduiront à un nombre moindre et seront compatibles. Cette équation de condition (15) peut prendre la forme suivante :
Xj(2,3,...,m)-+-X,(3,4,...,n»,l)-l---t-X„(l,2 m -1) = 0. (13')
Elle a déjà été indiquée par Jacoiu, qui l'a trouvée d'une manière moins simple que celle que nous indiquons ici.
49. Extension de la méthode précédente de transformation (*). Considérons une expression différentielle
û = Xjda;, + X^dx^ -+-••• + Xî„(/a?î, .
. (*) Gaoss, Œuvres, l.lll, pp. 233-234. Gaoss fait remarquer que les transformations dont il s'agit ici ne sont comprises qu'implicitement dans le mémoire de Pfaff. Jacobi (Journal de Liouville, t. III, p. 201) expose à peu
( 108 ) Nous venons de voir qu'on peut la transformer en une expression
On peut effectuer une transformation analogue dans le cas où il s'agit d'une expression contenant un -nombre impair de différentielles :
ûj = Yjdi/i H- ••■ -4- Y2„2dj/2„î-4- Y2„-ldi/2„l.
Pouï" cela, on transformera d'abord par la théorie précédente (il, — Y2„i «?î/2„-i), en regardant î/2„i comme constant, de manière à mettre cette expression sous la forme :
On aura évidemment alors :
ûi = >i {ZidZi + . ■ ■ -1- Zi„^5dZin-z) -+- Zu-idyiH-i , expression où
(<5^Zl iJZ2n 3\ Z, h • • • -+- Z2n - 3 T • %2n-l àyin^il
Appelons première transformation, celle de Pfaff, dans le cas où m est pair, seconde transformation, celle que nous venons d'indiquer, d'après Gauss. Cela posé, en appliquant {n — \) fois la seconde transformation à l'expression Qj, on parviendra à la mettre sous la forme :
UjdWj -H UadWj -\ h U„dî^, .
Une expression différentielle û qui contient une variable et une différentielle de plus, prendra la même forme, si l'on emploie une fois la transformation I, (« — \) fois la transformation II. Dans
près les mêmes transformations dans un ordre inverse. Lagrakge et Monge ont souvent employé des artifices de calcul semblables à celui de Gauss que nous exposons dans ce numéro.
ce dernier cas, pour effectuer ces transformations, il faut intégrer n systèmes d'équations simultanées analogues à (15), savoir :
1 système de (2n — 1) équations simultanées,
i système de 3 équations simultanées,
1 équation unique.
Dans le cas où il s'agit de transformer une expression û, contenant une variable de moins, il y a un système de moins à intégrer. Aucun système ne peut être formé qu'après l'intégration du précédent. 11 résulte de là qu'en pratique les transformations de Pfaff sont extrêmement compliquées.
§ 14. ÏÏHiégrmlUtn det équations difféi'^nUellea flmU» et de» éqtMlion» «MJT dér4€éea partielle» dt* premier ordre pmr tu méthode de Ffmg.
50. Intégrale complète d'une équation différentielle totale par la méthode de Pfaff. Soit à intégrer une équation différentielle totale entre 2n ou (2n — 1) variables, par exemple, entre 2«
variables :
Xi.da:,i-t-X„dj,jH H X,^„(fa-i,,„ = 0 (1,)
On peut d'abord transformer celte expression, comme l'indique Gauss, en une autre de la forme :
L'idu, H- UjdUj H h l'„dw„ = 0.
Cela conduit à Yintégrale complète donnée par les relations
Ui = ai, u, = aj,. .,t/„ = a„,
les a étant des constantes.
