HO
On peut aussi procéder autrement, en suivant la marche un peu plus simple indiquée par Pfaff. On transforme l'équation donnée en la suivante :
Xjit^o^sji -*- Xjjc/a-jj H hX2,2„ida?î,2„i = 0 (Ij)
Pour pouvoir y appliquer la même transformation , nous posons
et alors on peut mettre (Ij) sous la forme :
Posons
et transformons ensuite (d,) en
X^^dx^^-^'S.^^dx^^-^ h X4,2„sda;i,2«-s= 0 (I4)
On posera encore
et on continuera de cette manière, jusqu'à ce que l'on soit arrivé à
X„,ida;„. i-f-X„,2C?a;„,2-+-X„,3da;„,3 = 0 (1„)
On posera
X„,5 = an-l.
L'équation donnera ensuite une intégrale de la forme :
f{Xn,i , x„,i) = a„.
L'ensemble des relations
Xi, î«i = a, ,
a;3,2„3 = Oi ,
OOi, 2n-5 = a3 .
Xn , 3 — ^n — \ 5
constitue une intégrale de l'équation donnée, avec n constantes
arbitraires; on peut l'appeler une intégrale complète de l'équation donnée (1).
On trouve aussi une intégrale complète avec n constantes arbitraires, quand il s'agit d'une équation différentielle totale à (2n — 4) variables, telles que (Ij).
51. Intégrales que l'on peut déduire de Vintégrale complète. Dans la solution précédente, que l'on opère comme Gaiss ou comme PFAFF,au fond, l'on met toujours l'équation sous la forme :
UidMi ■+- UjdMj ^ \- U „dw„ = 0 , (a)
et l'on intègre en posant :
«1 = «1 , Wj = Oj , . . . , Un =■ fl/i •
Mais ce n'est pas la seule manière d'intégrer cette équation auxiliaire (a). On peut aussi poser, avec Pfaff et Gauss :
F étant une fonction quelconque, et associer à cette relation les {ji — 4) suivantes, qui donnent avec F = 0, une intégrale de (I), dite intégrale générale :
SF SF
SF
?Un
Jacobi a fait remarquer que l'on pouvait encore trouver d'autres intégrales de la manière suivante. Posons :
Fy (wj, w,, .... w„) = 0, ..., Fi («1, Wj, .,., «„) = 0.
On déduit de là :
JF, SF, dF, ,
— du.-\---— du^ H ^-^r- f'"" = 0,
SFt ^ JFi ^ SVt , -
— du.-i du.-i h- — f/w„ = 0.
( ii'2 )
Éliminons k différentielles du entre ces équations et (a) et égalons à zéro les coefficients des autres dans le résultat, nous trouverons ainsi (w — k) relations :
Fi+i = 0, F*+î = 0,...,F„ = 0,
qui avec celles que nous avons choisies arbitrairement
F, = 0, F, = 0, ...,Fi = 0,
constituent encore un système intégral de l'équation {i) (*).
52. Application à l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier orrfre. Suivant une ingénieuse remarque de Pfaff, l'intégration d'une équation aux dérivées partielles :
/•(s,a;,,a7j, ...,a7„,pi,pj,...,p„) = 0 (2)
revient à celle de l'équation différentielle totale :
PidXi H H PndXn -+- O.dpi H H 0.rfp„i -+- (— 1) ds = 0, . (3)
où jo„ est censé remplacé par sa valeur déduite de la relation (2). On peut appliquer la méthode précédente à cette équation (3). Pour cela, on posera
Xn + l = Pi, Xn + 'i=Pi, ■■.,Xi„-l=p„-i, Xi„ = Z, X„4.1=0, X„+2= 0 , ...,Xî„l=0, Xïn = — 1.
Presque toutes les quantités exprimées par le symbole
seront nulles, de sorte que les valeurs de /:, , ... , ki„ se simplifieront beaucoup mais perdront en même temps leur forme symétrique.
(*) On trouve ainsi toutes les solutions, comme il est facile de le voir, en se reportant au n» 12.
On trouve
dpi dp„ dXn * dz dXi dz '
