IL IL

dpn Sx dPn Sp

dx~~1f' dp~ Jf

Spn Wn

Introduisant ces valeurs dans les équations de la transformation, elles deviendront :

si l'on pose , comme dans le chapitre précédent :

Sf Sf ^ Sf Sf

Sx, Sz^'^-'-' " Sx„ Sz^"'

Sf Sf

Spi Sp„

Pfaff est donc arrivé identiquement aux mêmes équations auxiliaires auxquelles Jacobi est parvenu plus tard, en donnant à la méthode de Lagrange son extension naturelle (voir le § 11 tout entier). Comme nous l'avons déjà dit, les calculs se font delà même manière dans les deux méthodes, mais dans un ordre inverse.

Dans la méthode primitive de Pfaff, on doit intégrer n systèmes d'équations auxiliaires analogues à (a'), qui donnent n relations contenant n constantes arbitraires. L'élimination dep,,p2, ....,Pn entre ces n relations et l'équation donnée conduit à Vintégrale complète de l'équation aux dérivées partielles (2).

La formation des autres systèmes auxiliaires (a') ne peut se faire que dans chaque cas particulier, puisqu'ils dépendent des intégrales du premier de ces systèmes (*).

(*) Sur le problème de Pfaff, voir les remarquables mémoires de Natam (Journal de Crelle, t.LVlII, pp. 301-328),de Clebsch (Journal deCrelle, t.LIX, pp. 190-19-2; t., pp. LX 193-251 ;t. LXI, pp. 146-179) et de Dubois-Reymond (ibid., t. LXX, pp. 299-315); puis divers écrits de Lie, dans les recueils de l'Académie de Christiania.

(lis )

§ 1d. Sintptiftcatiotê r{« In ntéthoHe dm Ffaff. Pfobléine inrefsm.

53. Simplification de la méthode de Pfaff pour V intégration des équations aux dérivées partielles par Jacobi (*). En supposant, comme aux n°»42 et 43, que l'on intègre les équations auxiliaires que nous venons de trouver, puis que l'on fasse un changement de variables, on ramènera l'intégration de l'équation donnée à celle de

Ç.^dU^ -t- H Cî»-! dUin-l = 0,

«1, ..., Ui„-i étant les constantes de l'intégration des équations auxiliaires , et les C étant définis par les relations :

du du

Jacobi , s'inspirant des recherches de Hamiltox sur la dynamique, a eu l'heureuse idée d'introduire dans cette théorie les valeurs initiales des variables, savoir Zq, Xjo, •••, x^o, pio, .-., Pno et de

(*) Jacobi, Journal de Liouville, t. III, pp. 171-182, § IX du Mémoire. Jacobi s'étonne que Pfaff n'ait pas trouvé la simplification exposée dans les a"' 53 et 34. Mais la chose n'était pas si simple , puisque Jacobi lui-même n'y a pas songé quand il s'est occupé de la méthode de Lagrange. Il fallait, pour cela , introduire dans les équations les valeurs initiales des variables. C'est ce que fit Cacchy dès 1819; Jacobi n'a vu la portée de ce choix des nouvelles variables qu'en 1835, après les travaux de Hamilto.n sur la dynamique. C'est pourquoi il nous semble que l'on désigne à tort en Allemagne la méthode d'intégration que nous venons d'exposer sous le nom de méthode de Hamillon et Jacobi, puisque bien longtemps avant ces géomètres, Caccht avait découvert, par une méthode plus directe que celle de Pfaff, les résultais retrouvés plus tard par Jacobi, d'une manière assez pénible. [M. Lie fait remarquer aussi, dans un de ses derniers mémoires, que la méthode de Pfaff, perfectionnée par Jacobi , doit s'appeler méthode de Cauchy.]