MG

prendre l'intégrale qui entre dans 1 équation précédente entre les limites Zo et z. Il vient ainsi

du du

L'équation à intégrer se réduit à :

Uiod"i H HU2„l,odM2n-l = 0;

ou , tout au long :

/dXio dXto , \ Ptoi-T-du^-^ H- dui„-i] -t-

\ dUi dUin-l )

(dXna , dx„o , \

H-Pno [——dUi-\ h- dMï„i =0,

c'est-à-dire :

PlodXio H H PnoC^-î^no = 0 .

On peut prendre pour système intégral de ces équations :

ai, 02. •••? c„ désignant des constantes.

De là, la règle suivante pour intégrer l'équation (i). Soit /ù ce que devient Tune quelconque des fonctions /'quand on y fait z==Zo. Tirez des relations :

/■j5 = Mj, ... ,/2„i,o = î<2b-1, f-2n,0 =: 0,

les valeurs de x^, ..., x„g, p,^, ..., /?„„, en fonction de Wj, ..., W2„i. Soient trouvées ainsi les n relations :

a;jo=F, (m,,...,M2»-,),

x„o = ¥„{Ui,...,Uî„-i).

Pour avoir l'intégrale complète de l'équation (1), il suffira d'éliminer pi , ... , p„ entre les équations

Fi = ai, Fj = a,,...,F„ = ûr„,

après que les u sont remplacés par leurs valeurs.

Remarqces. I. Si P = 0 en verlu de l'équation donnée, la méthode précédente donne pour une intégrale des équations auxiliaires, z=ro. Dans ce cas, on ne trouve plus directement d'intégrale complète, comme il est facile de le voir, et comme nous le montrerons à propos de la méthode de Cauchy, où la même exception se présente.

II. Au lieu de prendre pour nouvelles variables les u et z, on peut prendre les u et un quelconque des j, ce qui rapproche davantage la méthode de Pfafif modifiée par Jacobi , de celle de Cauchy. La principale différence entre les deux méthodes consiste en ce que CArcBV emploie (n — 1) nouvelles variables fonction des anciennes, et n constantes arbitraires dès le commencement des calculs, tandis que Pfaff et Jacobi emploient (2« — 1) nouvelles variables et sont forcés, dans la suite des calculs, d'en faire n égales à des constantes, ou au moins, comme nous venons de le voir, d'égaler n fonctions de ces variables à des constantes, ce qui revient au même.

54. Simplification de la méthode générale de Pfaff par Jacobi (*). Nous avons indique plus haut {n° 55), comment Jacobi, en s'aidant des travaux de Hamilton, a ramené l'intégration de l'équation (2) à celle du seul système (a'). Nous allons faire connaître comment il a pu, d'une manière analogue, former immédiatement toutes les équations auxiliaires, dont on a besoin dans la méthode générale de Pfaff, pour intégrer une équation différentielle totale.

Soit xi, une valeur de x^, pour laquelle x, , Xj, .... Xa,i prennent les valeurs xJ, x%, ... , x5,i. Posons :

X, =x? -i-{x,„-xîJÇ., X, =x; -t-(x,„-x«„)H„

•^i»- » =^ ^l^^m-t ■+■ (Xj„ — Xjn) Çta-i , X*.-, = X£,-« -♦- (X^ — Xj„) 2t«— I,

(*) Jacobi, Journal de LiouvUle, L III, pp. 194-301 , § XII do mémoire. [Le sujet traité dans ce numéro et le suivant ne fait pas, à proprement parler, partie du sujet de ce mémoire.]

?i5 —5 ^in-i n'étant pas infinis pour Xi„ = xl„, et §2» étant égal à 1, En introduisant à la place des anciennes variables, leurs valeurs initiales et Xi„, on aura

= B^dx°^ ■+■ B^dxl H \- Bi„^^dxl^^l -+- Bg„da7g„.

Supposons que les relations données plus haut entre les nouvelles et les anciennes variables soient celles qui permettent de faire la première transformation de PfafF, on aura 62,, = 0; ensuite,

Bi=\?+{x,,-xU)^,Mx,„-K„)i^,n-*-ix,,-Knr^~^k:

étant indépendant de x^n, à un facteur ). près, on pourra y faire Xi„ = xl„. De cette manière, l'équation donnée deviendra donc

Xldx", -+■ Xldxl H 1- X|„,dxS„^^ = 0 .

Pour intégrer celle-ci, nous poserons,

Xi„^i = a,

puis nous la transformerons en une autre contenant une variable de moins, au moyen de l'intégration d'un système auxiliaire analogue aux équations (1 2) du § 1 5 :

Xj Xj Xj„

Pour obtenir ces nouvelles équations auxiliaires, il suffira de laisser dans le système précédent les deux dernières équations de côté, et de faire dans les autres Xi„ = xl„, puis de remplacer ^în-i psr «5 ^1 pai' ^î- En effet, ces changements étant faits dans les calculs du § 12, donneront les calculs nécessaires pour transformer la dernière équation différentielle totale en

Xl^dx^" -+- X°''dx^''H 1- X"^^idx'^^„i = 0.

( ii9 )

Et ainsi de suite. Il est clair que l'on peut continuer de cette manière la formation des systèmes d'équations auxiliaires et arriver au système intégral :

Reharque. n y a une grande simplification si

Xi = 0,...,X.r = 0.

Dans ce cas, quand on sera arrivé à une équation de la forme :

on pourra s'arrêter. On aura , en eflFet, déjà r relations :

et l'on pourra en outre poser immédiatement, pour intégrer la dernière transformée :

Dans le cas des équations aux dérivées partielles , cela arrive après la première transformation parce que l'on a r=(n — i).